Triangolo di Tartaglia

In matematica, il triangolo di Tartaglia (noto in gran parte del mondo occidentale come triangolo di Pascal o triangolo aritmetico) è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali infinita e a forma di triangolo. In Italia prende il nome dal matematico del XVI secolo Niccolò Tartaglia, mentre a livello internazionale viene intitolato al matematico francese Blaise Pascal. A seconda della tradizione storica e geografica, è conosciuto anche come triangolo di Khayyām (in Persia), triangolo di Yang Hui o di Jia Xian (in Cina) e triangolo binomiale.^[1]

Sebbene porti i nomi di Tartaglia e Pascal, il triangolo è stato scoperto più volte da varie culture nella storia della matematica. Molti secoli prima degli studi europei, la struttura era già stata analizzata in India, nel mondo islamico (in particolare in Persia, Maghreb e Medio Oriente), in Germania e nell'antica Cina, dove apparve per la prima volta durante la dinastia Song meridionale in un'opera di Yang Hui basata a sua volta su un trattato precedente di Jia Xian.

I numeri che compongono la varie righe del triangolo appaiono in diverse branche della matematica, tra cui l'algebra, il calcolo combinatorio, la teoria della probabilità, l'analisi matematica e la teoria dei numeri. Il triangolo di Tartaglia può inoltre essere generalizzato ad altre dimensioni: la sua versione tridimensionale è chiamata piramide di Pascal (o tetraedro di Pascal), mentre le versioni n-dimensionali più generali prendono il nome di simplessi di Pascal.

Costruzione

Le prime righe del triangolo di Tartaglia sono le seguenti:

{\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\\1\quad 9\quad 36\quad 84\quad 126\quad 126\quad 84\quad 36\quad 9\quad 1\\1\quad 10\ \ 45\quad 120\ \ \ 210\ \ \ 252\ \ \ 210\ \ 120\ \ \ 45\ \ 10\quad 1\\\end{array}}}

Gli elementi di ciascuna riga si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga superiore. Ossia, se $n$ e $k$ sono interi positivi, e $k$ è minore o uguale a $n$ , il numero $C_{n,k}$ corrispondente all'elemento in posizione $k$ della riga $n$ del triangolo (contando sempre a partire da 0) è dato da

C_{n,k}={n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}={\begin{cases}1,&{\text{per }}k=0{\text{ oppure }}k=n,\\C_{n-1,k-1}+C_{n-1,k}^{}&{\text{negli altri casi.}}\end{cases}}

Il triangolo si può costruire a partire dal vertice, ossia a partire dalla riga superiore ( $n=0$ ), in cui è presente solamente il numero 1.

I lati esterni del triangolo contengono a loro volta degli 1. Ogni elemento interno della tabella è calcolato sommando i due numeri situati immediatamente sopra di esso (quello a sinistra e quello a destra, trattando gli spazi vuoti come zeri). Questa caratteristica di somma è una diretta conseguenza della regola di Pascal, la cui relazione è espressa dalla formula:

{\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}

per tutti gli interi $n$ e $k$ tali che $0<k<n$ . Le righe del triangolo che si vengono a formare sono perfettamente simmetriche rispetto all'asse verticale.

La proprietà fondamentale di questa disposizione è che l' $n$ -esimo livello del triangolo (riga $n$ ) corrisponde esattamente ai coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio $(a+b)^{n}$ . Ad esempio, la seconda riga:

1\quad 2\quad 1

fornisce i coefficienti dello sviluppo per l'esponente 2, ossia

(a+b)^{2}=1\cdot (a^{2})+2\cdot (ab)+1\cdot (b^{2}).

La potenza del binomio

L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia risiede nello sviluppo delle potenze di un binomio.

L'immagine sotto riportata mostra come, iniziando a contare le righe dall'indice 0, nella $n$ -esima riga compaiano i coefficienti della potenza $n$ -esima del binomio:

Ad esempio, per scrivere lo sviluppo di $(a+b)^{4}$ , è sufficiente andare alla quarta riga ( $n=4$ ) del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante.

La riga in questione è data da

1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1

E infatti si può scrivere:

(a+b)_{}^{4}=1a_{}^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+1b^{4}.

Per tale motivo, i numeri del triangolo di Tartaglia sono detti anche coefficienti binomiali, particolarmente studiati nell'ambito del calcolo combinatorio: si dimostra infatti che l'elemento di posizione $k$ sulla riga $n$ del triangolo di Tartaglia è il numero di combinazioni di $n$ elementi di classe $k$ , da cui la scelta di $C$ per indicarla:

C_{n,k}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.

Dunque, la potenza del binomio può essere scritta anche con la formula seguente, che dobbiamo a Newton ed è comunemente indicata come formula del binomio di Newton:

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k}.

Formalismo matriciale

Con i classici indici del formalismo matriciale, il triangolo può essere costruito nel seguente modo: introdotti due indici $i$ e $j$ rispettivamente di riga e colonna e indicando con $x_{ij}=x_{i,j}$ il generico elemento con coordinate $(i,j)=(n,k-1)$ , possiamo scrivere:

riga 1: $x_{11}=1;\quad x_{12}=1;$

riga 2: $x_{21}=1;\quad x_{22}=2;\quad x_{23}=1;$

riga 3: $x_{31}=1;\quad x_{32}=3;\quad x_{33}=3;\quad x_{34}=1;$

riga 4: $x_{41}=1;\quad x_{42}=4;\quad x_{43}=6;\quad x_{44}=4;\quad x_{45}=1;$

In generale, $x_{ij}$ è una funzione di Dirichlet, che vale $x_{ij}=x_{i-1,j-1}+x_{i-1,j}$ con $i=1,\ldots ,n$ e $j=1,\ldots ,n$ , sempre (per ogni $i$ e $j$ ), tranne per $j=1$ oppure $j=i+1$ , ossia agli estremi (destro e sinistro) di ogni riga del triangolo, dove vale $x_{ij}=1$ .

Infatti, vale che $x_{21}=1,$ $x_{31}=1,$ $x_{3,j=i+1=4}=1,$ $x_{45}=1,$ e che $x_{42}=x_{i-1=4-1=3,j-1=2-1}+x_{3,2}=1+3=4$ .

Tale formulazione è del tutto equivalente a quella precedente e più "classica" del coefficiente binomiale. Vengono solamente cambiati gli indici, riconducendosi al formalismo matriciale.

Proprietà

Il triangolo ha molte altre numerose proprietà, alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre dalle proprietà dei coefficienti binomiali (le due cose sono legate tra loro).

Condizione al contorno

Essendo ${n \choose 0}={n \choose n}=1$ tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a 1.

Formula ricorsiva

È nota (qui la dimostrazione) la proprietà dei binomiali per cui

{n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}.

Questo porta a una formula ricorsiva per calcolare un numero del triangolo: se voglio conoscere il numero alla riga $n$ al posto $k$ , basta sommare i due numeri della fila precedente allo stesso posto e al posto precedente, cioè otteniamo proprio la formula di costruzione.

Simmetria del triangolo

Il triangolo è simmetrico rispetto all'altezza, cioè $C_{n,k}=C_{n,n-k}$ , questo poiché ${n \choose k}={n \choose n-k}$ .

Somma delle righe

Si può notare che:

 ${\displaystyle {\begin{array}{c}1=1\\1+1=2\\1+2+1=4\\1+3+3+1=8\\1+4+6+4+1=16\\\end{array}}}$

cioè che la somma della $n$ -esima riga è $2^{n-1}$ . Ciò si può dimostrare molto facilmente osservando che la somma della prima riga è 1 e che, data una riga, ogni numero della riga successiva si ottiene sommando i due numeri superiori e che ogni numero superiore viene utilizzato due volte per cui, indicando con $S_{n}$ la somma della riga $n$ , risulta $S_{n}=S_{n-1}\cdot 2$ .

Altra dimostrazione ancora più semplice consiste nel ricordare che ogni riga contiene i coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio, volendo prendere il binomio $1+1$ , il suo sviluppo consiste nei semplici coefficienti, quindi, per esempio $(1+1)^{3}=1+3+3+1=8$ , e in generale $(1+1)^{n}=2^{n}$ .

Differenza nelle righe

Si può notare che:

 ${\displaystyle {\begin{array}{c}1-1=0\\1-2+1=0\\1-3+3-1=0\\1-4+6-4+1=0\\\end{array}}}$

La somma dei numeri nei posti dispari (1º, 3º, 5º,...) meno la somma dei numeri nei posti pari (2º, 4º, 6º,...) dà zero, inoltre, lo stesso risultato si ottiene sottraendo i dispari ai pari. Per le righe con un numero pari di elementi, questo è ovvio in quanto il triangolo è simmetrico (vedi sopra).

Per una dimostrazione generale ci affidiamo alla tecnica precedente prendendo come binomio (1-1), in questo modo otteniamo proprio la somma che cerchiamo, che non può che fare 0. Un esempio: $(1-1)^{3}=1-3+3-1=0$ .

Potenze di undici e di altri numeri

Le "prime" potenze di 11, quelle di 101, e in generale quelle della somma di due distinte potenze di 10, si possono "leggere" sulle prime righe del triangolo di Tartaglia:

          1                   1                       1         1
        1   1                11                   1.001        10,1
      1   2   1             121               1.002.001       102,01
    1   3   3   1         1.331           1.003.003.001     1.030,301
  1   4   6   4   1      14.641       1.004.006.004.001    10.406,0401
1   5  10  10   5   1   161.051   1.005.010.010.005.001   105.101,00501

Sviluppando infatti il binomio $(10^{a}+10^{b})^{n}$ , negli esempi (10+1), (100+1) e (10+0,1), si ottiene

(10^{a}+10^{b})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}10^{ia+(n-i)b}

e finché la potenza è "piccola", cioè i coefficienti binomiali sono inferiori al rapporto tra le due potenze, è possibile "leggere" le righe del triangolo di Tartaglia nelle loro potenze.

Similmente, scrivendo i numeri in una diversa base di numerazione $c$ , il triangolo di Tartaglia può essere "letto" nelle "prime" potenze di $c+1$ e in generale della somma di due potenze di $c$ .

Somma delle diagonali

Prendiamo una porzione del triangolo:

      ${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\ \quad 1\\1\quad \ 2\ \quad \ \mathbf {1} \\1\quad \ 3\quad \ \mathbf {3} \quad 1\\1\ \quad 4\quad \mathbf {6} \quad 4\quad \ 1\\1\quad 5\quad \mathbf {10} \quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad \mathbf {20} \quad 15\quad 6\quad 1\end{array}}}$

Sommando i numeri su una diagonale (1+3+6+10) otteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20). Questa è un'identità molto utile nel campo della combinatoria, chiamata comunemente con il nome di "Identità della mazza da hockey"^[2], per analogia con la forma assunta evidenziando gli addendi e il risultato in diagonale.

Multipli di numero fissato

Dato un numero $n$ fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.

Pari:                                   1
                                     1     1
                                  1    \2/    1
                               1     3     3     1
                            1    \4     6     4/    1
                         1     5    \10    10/   5     1
                      1    \6/    15   \20/   15   \6/    1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1    \8     28    56    70    56    28    8/    1
             1     9    \36    84    126   126   84    36/   9     1
          1    \10/   45   \120   210   252   210   120/  45   \10/   1
       1     11    55    165  \330   462   462   330/  165   55    11    1
    1    \12    66    220/  495  \792   924   792/  495  \220   66    12/   1
 1     13   \78    286/  715   1287 \1716  1716/ 1287  715  \286   78/   13    1

Altre successioni di interi

Nel triangolo di Tartaglia, oltre ai coefficienti binomiali, si individuano anche altre successioni di interi positivi:

Numero di Catalan

I numeri di Catalan si possono trovare in verticale partendo dal vertice, scendendo e dividendo per 1, 2, 3, 4, ... quindi sono 1/1, 2/2, 6/3, 20/4, 70/5, ... ossia 1, 1, 2, 5, 14, ...

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1

Numeri di Fibonacci

I numeri di Fibonacci possono essere trovati sommando le diagonali "storte", ottenute spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra. Esempio: $1+6+5+1=13=F_{7}$ oppure $1+15+35+28+9+1=89=F_{11}$ . Esiste anche un algoritmo per la determinazione dei coefficienti dei polinomi di Fibonacci.

                              1
                           1     1
                        1     2     1
                     1     3     3     1
                  1     4     6     4     1
               1     5     10    10    5     1
            1     6     15    20    15    6     1
         1     7     21    35    35    21    7     1
      1     8     28    56    70    56    28    8     1
   1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1

Serie dei numeri politopici

Ogni diversa linea diagonale del triangolo rappresenta una successione di numeri n-topici (un'estensione alle $n$ -dimensioni dei numeri poligonali, per esempio la 3ª linea diagonale è composta dai numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, ...) con due dimensioni.

 ${\displaystyle {\begin{array}{c}\mathbf {1} \\\mathbf {1} \ \quad \color {red}\mathbf {1} \\\mathbf {1} \quad \ \color {red}\mathbf {2} \ \quad \ \color {orange}\mathbf {1} \\\mathbf {1} \ \quad \ \color {red}\mathbf {3} \quad \ \color {orange}\mathbf {3} \ \quad \color {green}\mathbf {1} \\\mathbf {1} \ \quad \color {red}\mathbf {4} \quad \ \color {orange}\mathbf {6} \ \quad \color {green}\mathbf {4} \quad \ \color {blue}\mathbf {1} \\\mathbf {1} \quad \color {red}\mathbf {5} \quad \color {orange}\mathbf {10} \quad \color {green}\mathbf {10} \quad \color {blue}\mathbf {5} \quad \color {purple}\mathbf {1} \\\mathbf {1} \quad \color {red}\mathbf {6} \quad \color {orange}\mathbf {15} \quad \color {green}\mathbf {20} \quad \color {blue}\mathbf {15} \quad \color {purple}\mathbf {6} \quad \color {magenta}\mathbf {1} \end{array}}}$

La 4ª linea diagonale dai numeri tetraedrici (3 dimensioni), la 5ª dai numeri pentatopici (4 dimensioni), la 6ª dai numeri 5-topici (5 dimensioni), e così via.^[3]

Ogni numero nel triangolo di Tartaglia è dunque identificato dalle coordinate n e m. Vi è una semplice relazione tra tutte le coppie di numeri adiacenti aventi posizione (n,m) e (n+1,m–1)

m\cdot T(n,m)=n\cdot T(n+1,m-1),

per esempio l'ottavo (8º) numero tetraedrico (3-topico) moltiplicato 3 è uguale al prodotto di 8 per il nono (9º) numero triangolare (2-topico) (3*120 = 8*45)

Il risultato che risale a Fermat e che il matematico considerava una "proposizione molto bella"^[4] non è che l'espressione della seguente

m{n+m-1 \choose m}=n{n+m-1 \choose m-1}.

Estendibilità del coefficiente binomiale

Una generalizzazione del coefficiente binomiale è data dallo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni

(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}

, per

|x|<1

e

\alpha \in \mathbb {C}

.

Un'altra generalizzazione del coefficiente binomiale è data dal prolungamento analitico della funzione fattoriale tramite la funzione Gamma, $m!=\Gamma (m+1)$ :

{\binom {n}{k}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}}.

Anche se sono definite su insiemi diversi, queste funzioni coincidono sulle intersezioni.

Nota storica

La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo^[5]^[6] e forse anche in epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse nel suo General trattato di numeri et misure del 1556, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Michael Stifel che ne scrisse nel 1544.

Note

↑ MathWorld.
↑ Videos, su artofproblemsolving.com. URL consultato il 2 febbraio 2022.
↑ John H. Conway, Richard K. Guy, Il libro dei numeri. Hoepli 1999 ISBN 88-203-2519-5.
↑ André Weil, Teoria dei numeri. Einaudi 1993 ISBN 88-06-12745-4
1 2 Katz, V.J. (1992) A History Of Mathematics : An Introduction d'après Copia archiviata, su roma.unisa.edu.au. URL consultato il 13 maggio 2008 (archiviato dall'url originale il 5 luglio 2008).
↑ Giovanni Giuseppe Nicosia, Cinesi, scuola e matematica, 2010, pagina 60

Voci correlate

Altri progetti

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Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul triangolo di Tartaglia

Collegamenti esterni

Tartaglia, triangolo di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

Tartaglia, triangolo di, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.

(EN) William L. Hosch, Pascal’s triangle, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Opere riguardanti Pascal's triangle, su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, Pascal's Triangle, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Pascal triangle, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 40274 · J9U (EN, HE) 987007529588005171

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] MathWorld.

[2] Videos, su artofproblemsolving.com. URL consultato il 2 febbraio 2022.

[3] John H. Conway, Richard K. Guy, Il libro dei numeri. Hoepli 1999 ISBN 88-203-2519-5.

[4] André Weil, Teoria dei numeri. Einaudi 1993 ISBN 88-06-12745-4

[cinesi-5] 1 2 Katz, V.J. (1992) A History Of Mathematics : An Introduction d'après Copia archiviata, su roma.unisa.edu.au. URL consultato il 13 maggio 2008 (archiviato dall'url originale il 5 luglio 2008).

[6] Giovanni Giuseppe Nicosia, Cinesi, scuola e matematica, 2010, pagina 60

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Algebra
Numeri
Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principî fondamentali
Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare
Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Calcolo combinatorio base
Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Basi di teoria dei numeri
Numeri primi	Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica
Divisori	Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore
Aritmetica modulare	Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi
Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Gruppi	Gruppo finito · Gruppo ciclico · Gruppo abeliano · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(F_n) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato
Teoremi	Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti
Sottoinsiemi	Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione
Teoria degli anelli
Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi
Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius
Estensioni	Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer
Teoria di Galois	Gruppo di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche
Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
Argomenti
Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale