Crivello di Eratostene

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Il crivello di Eratostene è un antico algoritmo per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino a un certo numero prefissato. Questo principio deve il proprio nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore. È ancora utilizzato come algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer, per via della sua semplicità pur non essendo del tutto efficiente, infatti, è in compenso piuttosto semplice da tradurre in un qualsiasi linguaggio di programmazione.

Algoritmo[modifica | modifica wikitesto]

Animazione del crivello

Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da fino in un elenco detto setaccio. Poi si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di e si ripete l'operazione con i numeri che seguono, proseguendo fino a che non si applica l'operazione all'ultimo numero non cancellato. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a .

È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare solo i numeri non multipli di , il secondo solo i non multipli di , e così via.

Nel caso , ad esempio, il procedimento di setacciatura si conclude con il numero perché è il massimo primo il cui quadrato non supera e si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare i primi fino a un certo numero cessa sempre quando si supera la radice quadrata di . Infatti ogni numero del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori a un dato , cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.

Se indichiamo con il più piccolo divisore primo di si ha:

Se ne deduce che , da cui è sempre minore o uguale alla radice quadrata di .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per trovare tutti i numeri primi minori di , si può procedere come segue:

  • Scrivere la lista di tutti i numeri interi da a :
  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
  • Cancellare dalla lista i multipli di :
  2  3     5     7     9    11    13    15    17    19    21    23    25    27    29
  • Il primo numero della lista dopo il è il ; cancellare dalla lista i multipli di :
  2  3     5     7          11    13          17    19          23    25          29
  • Il primo numero della lista dopo il è il ; cancellare dalla lista i rimanenti multipli di :
  2  3     5     7          11    13          17    19          23                29
  • Il primo numero della lista dopo il è il , non essendoci più multipli i numeri restanti sono i numeri primi che cercavamo.

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