Estensione algebrica

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In algebra astratta, una estensione di campi è detta algebrica se ogni elemento di è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in .

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo. Una estensione è il dato di un altro campo e di un omomorfismo iniettivo di in . Tramite l'omomorfismo, può essere visto come un sottocampo di . L'estensione è generalmente indicata con la notazione .

Un elemento di è algebrico su se esiste un polinomio (non nullo) a coefficienti in tale che

Un elemento non algebrico su è detto trascendente.

Se tutti gli elementi di sono algebrici su , l'estensione è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.

Polinomio minimo[modifica | modifica wikitesto]

Tra tutti i polinomi che si annullano in , ne esiste uno in particolare di grado minimo, detto polinomio minimo di su . Si dimostra che esso è unico a meno di una costante moltiplicativa (ciò equivale a dire che esiste un unico polinomio minimo monico, cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a ) e che l'ideale generato da esso rappresenta il nucleo dell'omomorfismo di valutazione

Inoltre il grado di tale polinomio è proprio il grado dell'estensione , dove è il sottocampo di generato da e da .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Siano , e rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.

  • L'estensione è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
  • L'estensione è algebrica, perché ogni numero complesso è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio
  • Consideriamo il sottocampo di generato da e . L'estensione è algebrica, perché è radice del polinomio a coefficienti razionali
  • Ogni polinomio a coefficienti in definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di "generata" dalle radici di .

Campi algebricamente chiusi[modifica | modifica wikitesto]

Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi.

Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di in è detta estensione algebrica se per ogni in esiste una formula a parametri in , tale che è vera e l'insieme

è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di su può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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