Estensione algebrica

In algebra astratta, una estensione di campi $L/K$ è detta algebrica se ogni elemento di $L$ è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in $K$.

Definizioni

Sia $K$ un campo. Una estensione è il dato di un altro campo $L$ e di un omomorfismo iniettivo di $K$ in $L$. Tramite l'omomorfismo, $K$ può essere visto come un sottocampo di $L$. L'estensione è generalmente indicata con la notazione $L/K$.

Un elemento $a$ di $L$ è algebrico su $K$ se esiste un polinomio (non nullo) $p$ a coefficienti in $K$ tale che

$p(a)=0.$

Un elemento non algebrico su $K$ è detto trascendente.

Se tutti gli elementi di $L$ sono algebrici su $K$, l'estensione $L/K$ è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.

Polinomio minimo

Tra tutti i polinomi che si annullano in $a$, ne esiste uno in particolare di grado minimo, detto polinomio minimo di $a$ su $K$. Si dimostra che esso è unico a meno di una costante moltiplicativa (ciò equivale a dire che esiste un unico polinomio minimo monico, cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a $1$) e che l'ideale generato da esso rappresenta il nucleo dell'omomorfismo di valutazione

$\varphi \colon K[X]\to L,g\mapsto g(a).$

Inoltre il grado di tale polinomio è proprio il grado $[K(a):K]$ dell'estensione $K(a)/K$, dove $K(a)$ è il sottocampo di $L$ generato da $K$ e da $a$.

Esempi

Siano $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.

• L'estensione $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
• L'estensione $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ è algebrica, perché ogni numero complesso $a$ è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio

$p(x)=(x-a)(x-{\bar {a}})$

• Consideriamo il sottocampo $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ di $\mathbb {C}$ generato da $\mathbb {Q}$ e ${\sqrt {2}}$. L'estensione $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ è algebrica, perché ${\sqrt {2}}$ è radice del polinomio a coefficienti razionali

$p(x)=x^{2}-2$

• Ogni polinomio $p$ a coefficienti in $K$ definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di $K$ "generata" dalle radici di $p$.

Campi algebricamente chiusi

Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi.

Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.

Generalizzazioni

La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di $M$ in $N$ è detta estensione algebrica se per ogni $x$ in $N$ esiste una formula $p$ a parametri in $M$, tale che $p(x)$ è vera e l'insieme

$\{y\in N|p(y)\}$

è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di $N$ su $M$ può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.

Voci correlate

• Campo (matematica)
• Estensione di campi
• Spazio vettoriale
• Teoria di Galois
• Numero algebrico
• Campo algebricamente chiuso
• Campo di spezzamento

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione algebrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• Estensioni algebriche su progettomatematica.dm.unibo.it
• Polinomio minimo su progettomatematica.dm.unibo.it