Omomorfismo di gruppi

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi e , una funzione è un omomorfismo se

per ogni e appartenenti a .

La funzione è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

L'insieme degli omomorfismi da ad si indica con .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi qualsiasi e , l'omomorfismo banale è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento di l'elemento neutro di . L'identità è un altro esempio immediato; allo stesso modo, se è un sottogruppo di , l'inclusione è un omomorfismo.

Il determinante di una matrice quadrata a coefficienti in un campo è, grazie al teorema di Binet, un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle matrici quadrate invertibili con l'operazione di prodotto tra matrici e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo.

Nel campo dell'analisi matematica, la funzione esponenziale è un omomorfismo tra i reali con l'addizione e i reali positivi con la moltiplicazione.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Dalla definizione si deduce subito che manda l'elemento neutro di nell'elemento neutro di . Si deduce inoltre che . Di conseguenza, si può dire che è "compatibile con la struttura di gruppo", perché preserva elementi neutri ed inversi.
  • Nel caso in cui sia un gruppo abeliano, l'insieme può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione di moltiplicazione così definita: dati due omomorfismi e , la loro composizione è la funzione che manda in : si verifica che anche è un omomorfismo. Se anche è abeliano, inoltre, anche è abeliano.
  • Il nucleo di è definito come l'insieme di tutti gli elementi di tali che è l'elemento neutro di . Esso è un sottogruppo normale di ; inoltre, ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo, ad esempio l'omomorfismo quoziente .
  • L'immagine di tramite è un sottogruppo di , non necessariamente normale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica