Operazione binaria

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In matematica, un'operazione binaria interna è una funzione che richiede due argomenti dello stesso insieme (si dice cioè che ha arietà 2) e restituisce un elemento di . Formalmente, cioè, è una funzione * dal prodotto cartesiano in :

Per indicare l'immagine di una coppia di punti si usa spesso la notazione infissa . L'operazione è quindi identificata dal simbolo "". In alcuni casi si usano altri simboli, come il più "+" o il per "".

Un insieme dotato di un'operazione binaria è detto magma. A volte è usato come sinonimo il termine legge di composizione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Insiemi numerici[modifica | modifica wikitesto]

L'addizione è un'operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali. Usando il formalismo delle funzioni, questa operazione si descrive nel modo seguente:

Analogamente, anche il prodotto è un'operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali. Somma e prodotto sono operazioni binarie anche su altri insiemi numerici, come gli insiemi dei numeri interi, razionali, reali o complessi.

La sottrazione non è un'operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali: la differenza fra due numeri naturali può infatti essere negativa, e quindi non essere un numero naturale. La sottrazione è però un'operazione binaria sull'insieme dei numeri interi:

Insiemi più generali[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione che, date due persone, ci restituisce la più giovane, è anch'essa un'operazione binaria.

Strutture algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme dotato di un'operazione binaria è detto magma: questa è la più semplice struttura algebrica. Se l'operazione soddisfa alcune particolari proprietà, l'insieme è detto semigruppo, monoide, gruppo, e così via. Fra queste strutture, quella di gruppo è di fondamentale importanza nell'algebra e nella geometria.

Altre strutture più raffinate sono definite sulla base di due operazioni binarie: fra queste troviamo la nozione di anello e campo. Ad esempio, i numeri interi, dotati delle due operazioni binarie di somma e prodotto, formano un anello.

Varianti[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni autori usano il termine operazione binaria per identificare una più generica funzione binaria, ovvero una funzione

Generalmente, questo utilizzo di linguaggio è presente quando questa funzione assomiglia molto a un'operazione binaria, ad esempio perché due dei tre insiemi coincidono. Ad esempio, potrebbero rientrare in questa categoria la moltiplicazione per scalare

presente in ogni spazio vettoriale , oppure l'operazione di sottrazione

che associa a due numeri naturali un numero intero. Un altro esempio è l'azione di un gruppo su un insieme , che è una particolare funzione binaria

Gli autori che usano l'operazione binaria in questa accezione più allargata generalmente indicano con il termine operazione binaria interna la definizione originale, in cui tutti e tre gli insiemi presenti coincidono, e il termine operazione binaria esterna negli altri casi.

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