Operazione binaria

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, un'operazione binaria interna è una funzione che richiede due argomenti dello stesso insieme (si dice cioè che ha arietà 2) e restituisce un elemento di . Formalmente, cioè, è una funzione * dal prodotto cartesiano in :

Per indicare l'immagine di una coppia di punti si usa spesso la notazione infissa . L'operazione è quindi identificata dal simbolo "". In alcuni casi si usano altri simboli, come il più "+" o il per "".

Un insieme dotato di una operazione binaria è detto magma. A volte è usato come sinonimo il termine legge di composizione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Insiemi numerici[modifica | modifica wikitesto]

La somma è una operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali. Usando il formalismo delle funzioni, questa operazione si descrive nel modo seguente:

Analogamente, anche il prodotto è una operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali. Somma e prodotto sono operazioni binarie anche su altri insiemi numerici, come gli insiemi dei numeri interi, razionali, reali o complessi.

La sottrazione non è una operazione binaria sull'insieme dei numeri naturali: la differenza fra due numeri naturali può infatti essere negativa, e quindi non essere un numero naturale. La sottrazione è però un'operazione binaria sull'insieme dei numeri interi:

Insiemi più generali[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione che, date due persone, ci restituisce la più giovane, è anch'essa una operazione binaria.

Strutture algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme dotato di una operazione binaria è detto magma: questa è la più semplice struttura algebrica. Se l'operazione soddisfa alcune particolari proprietà, l'insieme è detto semigruppo, monoide, gruppo, e così via. Fra queste strutture, quella di gruppo è di fondamentale importanza nell'algebra e nella geometria.

Altre strutture più raffinate sono definite sulla base di due operazioni binarie: fra queste troviamo la nozione di anello e campo. Ad esempio, i numeri interi, dotati delle due operazioni binarie di somma e prodotto, formano un anello.

Varianti[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni autori usano impropriamente il termine operazione binaria per identificare una più generica funzione binaria, ovvero una funzione

Generalmente, questo utilizzo improprio di linguaggio è presente quando questa funzione assomiglia molto ad una operazione binaria, ad esempio perché due dei tre insiemi coincidono. Ad esempio, potrebbero rientrare in questa categoria la moltiplicazione per scalare

presente in ogni spazio vettoriale , oppure l'operazione di sottrazione

che associa a due numeri naturali un numero intero. Un altro esempio è l'azione di un gruppo su un insieme , che è una particolare funzione binaria

Gli autori che usano l'operazione binaria in questa accezione più allargata generalmente indicano con il termine operazione binaria interna la definizione originale, in cui tutti e tre gli insiemi presenti coincidono, e il termine operazione binaria esterna negli altri casi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica