Operazione interna

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In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme è una funzione che ad ogni n-upla di associa un elemento dello stesso .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme non vuoto e sia . Si chiama operazione interna su una funzione dal prodotto cartesiano a valori in :

Equivalentemente, sia , si chiama operazione interna su una funzione :

se .

Se , l'operazione è detta operazione binaria interna su e l'immagine della coppia di punti si denota preferibilmente con la notazione di operazione piuttosto che con la notazione funzionale .

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione sia o meno interna su un insieme (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia sia una struttura algebrica è che l'operazione verifichi la proprietà di chiusura su .

Operazione esterna[modifica | modifica wikitesto]

Un'operazione non interna su un insieme si dice operazione esterna.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Operazioni interne[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

Operazioni esterne[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto scalare è una operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

in quanto se la si pensa come funzione

si ha che anche in questo caso gli insiemi , e non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Algebra, S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed.: Mursia.

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