Minimo comune multiplo

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In matematica, il minimo comune multiplo di due numeri interi e , indicato con , è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di sia di . Nel caso particolare in cui uno tra o è uguale a zero, allora si definisce uguale a zero[1]. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine in cui vengono fatte le sostituzioni.

Calcolo del minimo comune multiplo[modifica | modifica wikitesto]

Per calcolare il minimo comune multiplo, si possono usare vari procedimenti equivalenti.

Partendo dal MCD[modifica | modifica wikitesto]

Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più frazioni. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto minimo comune denominatore, è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri e diversi da zero può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di e e la formula seguente:

Per esempio:

Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è multiplo di ciascuno di loro; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così . Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'algoritmo di Euclide.

Con semplificazione e moltiplicazione a croce[modifica | modifica wikitesto]

Una variante del metodo precedente permette di semplificare automaticamente il MCD e di verificare il risultato ottenuto. Se per esempio si vuole trovare trovare il , i passi sono i seguenti.

  • Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo:
  • Si esegue la "moltiplicazione a croce":
  • I due prodotti saranno uguali e corrispondono al minimo comune multiplo: .

Il ridurre ai minimi termini la frazione costruita con i due numeri è infatti equivalente a dividere ciascuno di essi per il massimo comun divisore, e la moltiplicazione a croce completa il prodotto del metodo precedente.

Usando il teorema fondamentale dell'aritmetica[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

Il numero composto è costituito da un elemento uguale al numero primo , due elementi uguali al numero primo e un elemento uguale al numero primo .

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il .

Il minimo comune multiplo è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

Il vantaggio di questo metodo è che può essere direttamente usato per calcolare il minimo comune multiplo di più numeri; lo svantaggio è che non sempre è facile trovare la scomposizione in fattori dei numeri di partenza.

Minimo comune multiplo tra espressioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Il minimo comune multiplo può anche essere calcolato tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.

Esempio:

  • Calcolo di .
Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta
  • Calcolo di .

Si ha che

E quindi il mcm in questo caso è

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Calcolo di
i tre numeri sono primi, quindi
  • Calcolo di :
i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi
quindi risulta
i fattori primi e sono stati presi con esponente massimo .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hasse, p. 10; se il minimo comune multiplo non è definito.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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