Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo $\cup$) di insiemi. Dati due insiemi $A$ e $B$, la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

• al solo insieme $A$,
• al solo insieme $B$,
• a entrambi.

L'unione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione.

Definizione

L'unione di due insiemi $A$ e $B$ si denota comunemente con $A \cup B$. Si ha che $x$ è un elemento di $A \cup B$ se e solo se $x$ è un elemento di almeno uno degli insiemi $A$ e $B$, in simboli:

$(x \in A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B)$

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data una arbitraria famiglia $\{A_\alpha,\,\alpha\in \mathcal{I}\}$ di insiemi, l'unione è definita come l'insieme $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}} A_\alpha$ a cui un elemento $x$ appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli $A_\alpha$.

Esempi

Come esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{2, 3, 4\}$. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}.$

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

• $A$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$,
• $B$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $6$.

$A \cup B$ è l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ e/o per $6$.

Proprietà

L'unione di due insiemi

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

$A \cup B = B \cup A.$

Infatti

$x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B \cup A .$

L'unione è un'operazione associativa:

$( A \cup B ) \cup C = A \cup (B \cup C).$

Infatti

$x \in ( A \cup B ) \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup B \vee x \in C \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \vee x \in C \Leftrightarrow,$

$x \in A \vee x \in B \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C).$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo $A \cup B \cup C.$

Voci correlate

• intersezione
• Differenza (insiemistica)
• Teoria degli insiemi

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