Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo $\cup$ ) di insiemi. Il simbolo $\cup$ deriva da U, l'iniziale della parola "unione".^[1] Dati due insiemi $A$ e $B$ , la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

al solo insieme $A$ ,
al solo insieme $B$ ,
a entrambi.

L'unione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'unione di due insiemi $A$ e $B$ si denota comunemente con $A\cup B$ . Si ha che $x$ è un elemento di $A\cup B$ se e solo se $x$ è un elemento di almeno uno degli insiemi $A$ e $B$ , in simboli:

(x\in A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B).

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data un'arbitraria famiglia $\{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ di insiemi, l'unione è definita come l'insieme $\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ a cui un elemento $x$ appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli $A_{\alpha }$ .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{2,3,4\}$ . In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

A\cup B=\{1,2,3,4\}.

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

$A$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ ,
$B$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $6$ .

$A\cup B$ è l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ e/o per $6$ .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

A\cup B=B\cup A.

Infatti

x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A.

L'unione è un'operazione associativa:

(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).

Infatti

x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo $A\cup B\cup C.$

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo ∪, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.