Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo $\cup$ ) di insiemi. Dati due insiemi $A$ e $B$ , la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

al solo insieme $A$ ,
al solo insieme $B$ ,
a entrambi.

L'unione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'unione di due insiemi $A$ e $B$ si denota comunemente con $A\cup B$ . Si ha che $x$ è un elemento di $A\cup B$ se e solo se $x$ è un elemento di almeno uno degli insiemi $A$ e $B$ , in simboli:

(x\in A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B)

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data un'arbitraria famiglia $\{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ di insiemi, l'unione è definita come l'insieme $\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ a cui un elemento $x$ appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli $A_{\alpha }$ .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{2,3,4\}$ . In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

A\cup B=\{1,2,3,4\}.

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

$A$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ ,
$B$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $6$ .

$A\cup B$ è l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ e/o per $6$ .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

L'unione di due insiemi

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

A\cup B=B\cup A.

Infatti

x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A.

L'unione è un'operazione associativa:

(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).

Infatti

x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\vee x\in C\Leftrightarrow ,

x\in A\vee x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo $A\cup B\cup C.$

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo ∪, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.