Prodotto vettoriale

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In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna tra due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un altro vettore che è normale al piano formato dai vettori di partenza.

Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo \times o con il simbolo \wedge. Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il prodotto esterno (o prodotto wedge) nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Prodotto vettoriale in un sistema destrogiro

Il prodotto vettoriale tra due generici vettori \mathbf a e \mathbf b è definito come il vettore ortogonale ad \mathbf a e a \mathbf b tale che:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat\mathbf{n} \cdot \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \, \mathrm{sen} \, \theta

dove 0 < \theta < \pi è l'angolo tra \mathbf a e \mathbf b e \hat\mathbf{n} è il versore (un vettore di modulo unitario) che determina la direzione del prodotto vettoriale, normale al piano formato da \mathbf a e \mathbf b.

Il problema riguardo alla definizione del versore \hat\mathbf{n} è che vi sono due versori \hat\mathbf{n} e -\hat\mathbf{n} perpendicolari sia ad \mathbf a che a \mathbf b, uno di verso opposto all'altro. Convenzionalmente si sceglie \hat\mathbf{n} in modo tale che i vettori \mathbf a, \mathbf b ed \mathbf a \times \mathbf b siano orientati secondo un sistema destrogiro se il sistema di assi coordinati ( \mathbf i,\mathbf j,\mathbf k ) è destrogiro, oppure sinistrogiro se ( \mathbf i,\mathbf j,\mathbf k ) è sinistrogiro. Quindi l'orientazione del versore \hat\mathbf{n} dipenderà dall'orientazione dei vettori nello spazio, ovvero dalla chiralità del sistema di coordinate ortogonali ( \mathbf i,\mathbf j,\mathbf k ).

Un modo semplice per determinare il verso del prodotto vettore è la «regola della mano destra». In un sistema destrogiro (terna destrosa o levogira dove si usa la regola della mano destra) si punta il pollice nella direzione del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un sistema di riferimento sinistrogiro (terna sinistrosa) basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare la mano sinistra.

Un altro semplice metodo è quello della "vite destrorsa". In un sistema destrogiro si simula il movimento di avvitatura o di svitatura di una vite destrorsa; guardato dall'alto, se ruotando il primo vettore verso il secondo la rotazione è oraria, la vite verrà avvitata e quindi il verso del vettore sarà rivolto verso il basso; viceversa, se si compie una rotazione antioraria, la vite sarà svitata ed il verso del vettore sarà rivolto verso l'alto.

Poiché il prodotto vettore dipende dalla scelta del sistema di coordinate, o più propriamente perché in una formalizzazione rigorosa il prodotto vettoriale tra due vettori non appartiene allo spazio di partenza, ci si riferisce ad esso come a uno pseudovettore. Sono ad esempio degli pseudovettori (detti anche vettori assiali) il momento angolare, la velocità angolare, il campo magnetico.

Il modulo del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori \mathbf a e \mathbf b ed è pari a:

 |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |= {a}\, {b} \, \mathrm{{sen}} \, {\theta}

infatti, b \sin \theta è la misura dell'altezza se si fissa \mathbf a come base, e viceversa a \sin \theta è la misura dell'altezza se si fissa \mathbf b come base.

Notazione matriciale[modifica | modifica sorgente]

Dato il generico vettore in \R^3:

\begin{bmatrix} {x} \\ {y} \\ {z} 
 \\ \end{bmatrix}

il prodotto vettoriale di tale vettore per un altro vettore può essere espresso come il prodotto tra la matrice:

\begin{bmatrix} {0} & {-z} & {y} \\ {z} & {0} & {-x} \\ 
{-y} & {x} & {0} \\ \end{bmatrix}

e il secondo vettore.

Sia:

\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k = [a_1, a_2, a_3 ]

e:

\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k = [b_1, b_2, b_3 ]

Allora:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=[ a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 ]

Si noti che non si è dovuto calcolare alcun angolo.

La suddetta notazione per componenti può essere scritta formalmente come il determinante di una matrice con un abuso di notazione:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix} = \left ( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \mathbf{i} - \left ( a_1 b_3 - a_3 b_1 \right) \mathbf{j} + \left ( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \mathbf{k} = \begin{bmatrix} {a_2 b_3 - a_3 b_2} \\ {a_3 b_1 - a_1 b_3} \\ {a_1 b_2 - a_2 b_1} \\ \end{bmatrix}

Il determinante di tre vettori può essere ottenuto come:

\det (\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)

Intuitivamente, il prodotto vettoriale può essere descritto dalla regola di Sarrus per il calcolo dei determinanti.

Notazione con indici[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto vettoriale \mathbf{a \times b} = \mathbf{c} può essere definito in termini del tensore di Levi-Civita \varepsilon_{ijk} come:

 c_k = \varepsilon_{ijk} a_i b_j

dove gli indici i,j,k sono le componenti ortogonali del vettore, usando la notazione di Einstein.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Il prodotto vettoriale è bilineare, ovvero dati tre vettori \mathbf a, \mathbf b e \mathbf c aventi pari dimensione e uno scalare k:
(k\mathbf{a})\times\mathbf{b} = k(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \mathbf{a}\times (k\mathbf{b})
(\mathbf{a}+\mathbf{c})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{c}\times\mathbf{b} (distributivo rispetto all'addizione)
\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c}
  • Il prodotto vettoriale è anticommutativo (non gode della proprietà commutativa), ovvero:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}
  • Non si tratta di un prodotto vero e proprio perché non è associativo.
\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times\mathbf {c}) +\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times\mathbf {a}) +\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\mathbf{0}
  • La proprietà distributiva, la linearità e l'identità di Jacobi fanno sì che (\mathbb{R}^3,+,\times) sia un'algebra di Lie.
  • I versori (o vettori unimodulari della base canonica) \mathbf i, \mathbf j, e \mathbf k relativi ad un sistema cartesiano di coordinate ortogonali in \R^3 soddisfano le seguenti equazioni:
\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k \qquad \mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i \qquad \mathbf k \times \mathbf i = \mathbf j
  • La seguente identità è detta doppio prodotto vettoriale:
\mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b)

Prodotto triplo[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto triplo di tre vettori è definito come:

\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})

Si tratta del volume con segno del parallelepipedo con lati \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}, e tali vettori possono essere interscambiati:

\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})

Un altro prodotto triplo, detto talvolta vettoriale, è il prodotto vettoriale di un vettore con il vettore risultante da un secondo prodotto vettoriale, ed è legato al prodotto scalare dalla formula:

\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})

Come caso speciale si ha:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) = \nabla (\nabla \cdot  \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} =  \nabla (\nabla \cdot  \mathbf{f} ) - \nabla^2 \mathbf{f}

Si tratta di una relazione particolarmente utile nel calcolo differenziale, in quanto riguarda l'equivalenza tra il rotore doppio e la differenza fra il gradiente della divergenza  \nabla (\nabla \cdot ) e il laplaciano \nabla^2 .

Un'altra relazione che lega il prodotto vettoriale con il prodotto triplo è:

(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})) \mathbf{a}

Identità di Lagrange[modifica | modifica sorgente]

Un'utile identità è:

 |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = 
\det \begin{bmatrix}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}  & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\\
\end{bmatrix} = 
 |\mathbf{a}|^2  |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2

che può essere confrontata con l'identità di Lagrange espressa come:

\sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 =  | \mathbf a |^2 | \mathbf b |^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2

in cui \mathbf a e \mathbf b sono vettori n-dimensionali. Questo mostra che la forma di volume Riemanniana per le superfici è esattamente l'elemento di superficie del calcolo vettoriale. Nel caso tridimensionale, combinando le due precedenti relazioni si ottiene il modulo del prodotto vettoriale scritto attraverso le componenti:

 |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = \sum_{1 \le i < j \le 3} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 = (a_1b_2  - b_1a_2)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1-a_1b_3)^2

Si tratta di un caso speciale delle moltiplicazione |\mathbf v \mathbf w| = |\mathbf v| |\mathbf w| della norma nell'algebra dei quaternioni.

Differenziazione[modifica | modifica sorgente]

La regola del prodotto si applicata anche al prodotto vettoriale:

\frac{d}{dx}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dx} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dx}

come si può dimostrare utilizzando la rappresentazione tramite moltiplicazione tra matrici.

Prodotto esterno[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Algebra esterna.
Relazione tra prodotto vettoriale e prodotto esterno: il prodotto vettoriale si ottiene considerando il duale di Hodge del bivettore a \wedge b.

Il prodotto esterno (prodotto wedge) di due vettori è un bivettore, cioè un elemento di piano orientato (analogamente ad un vettore che può essere visto come un elemento di linea orientato). Dati due vettori a e b, il bivettore a \wedge b è il parallelogramma orientato formato dai due vettori a e b. Il prodotto vettoriale si ottiene considerando il duale di Hodge del bivettore a \wedge b:

a \times b = *(a \wedge b)

che mappa bivettori in vettori. Si può pensare a tale prodotto come un elemento multidimensionale, che in tre dimensioni è un vettore, che è "perpendicolare" al bivettore.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Non esiste un analogo del prodotto vettoriale in spazi di dimensione maggiore che restituisca un vettore. Il prodotto esterno, tuttavia, gode di proprietà molto simili, anche se produce un bivettore e non un vettore. Il duale di Hodge del prodotto wedge produce un (n−2)-vettore, che è una naturale generalizzazione del prodotto vettoriale in dimensione arbitraria.

Algebre di Lie[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Algebra di Lie.

Il prodotto vettoriale può essere visto come uno dei più semplici prodotti di Lie, ed è pertanto generalizzato dalle algebre di Lie, che sono assiomatizzate come prodotti binari soddisfacenti gli assiomi di multilinearità, antisimmetria e l'identità di Jacobi. Ad esempio, l'algebra di Heisenberg fornisce un'altra struttura di algebra di Lie su \R^3. Nella base \{x,y,z\} il prodotto è:

[x,y]=z \qquad [x,z]=[y,z]=0

Estensioni multidimensionali[modifica | modifica sorgente]

Un prodotto esterno per vettori 7-dimensionali può essere ottenuto similmente utilizzando gli ottonioni invece dei quaternioni. Invece non possono esistere altre estensioni del prodotto vettoriale, e ciò è collegato al fatto che le sole algebre di divisione normate sono quelle con dimensioni 1,2,4 e 8.

Algebra multilineare[modifica | modifica sorgente]

Nel contesto dell'algebra multilineare il prodotto vettoriale può essere visto come un tensore (misto) di ordine (1,2), nello specifico una mappa bilineare, ottenuto da una forma di volume tridimensionale per innalzamento degli indici.

Simboli[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto vettoriale × è rappresentato come:

  • &times; in HTML
  • \times in LaTeX
  • U+00D7 in Unicode
  • alt sx + 0215 (da tastierino numerico) in ambiente windows

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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