Immagine (matematica)

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Immagine (insieme tratteggiato) all'interno del codominio.

In matematica, l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione. Si definisce immagine di tramite , o immagine di , il sottoinsieme di così definito:

ove l'uguaglianza con sussiste se e solo se la funzione è suriettiva.

Si tratta, quindi, di quegli elementi di per i quali esiste un elemento di che venga portato in da .

Notare che nello scrivere si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto è una trasformazione che agisce sugli elementi di , non su stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: e

Più in generale, se è un sottoinsieme del dominio si chiama immagine di tramite l'insieme:

Se , si chiama immagine di tramite l'unico elemento associato ad da .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Considerata una funzione , valgono le seguenti proprietà:

  • Se allora
  • L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli:
    • In generale:
  • L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: e l'uguaglianza vale se la funzione è iniettiva.
    • In generale:
  • L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: e l'uguaglianza vale se e solo se

Metodi di calcolo[modifica | modifica wikitesto]

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate , compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la in funzione della , trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se

allora la sua inversa si ottiene mediante:

Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la , precisamente   e   L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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