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Inclusione

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B sottoinsieme di A

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con , è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme è contenuto o incluso nell'insieme se e solo se, per ogni elemento , se appartiene a allora appartiene ad ". In simboli, dati due insiemi e , si ha:

[1]

L'insieme si dice sottoinsieme di .

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta, per indicare che ogni elemento di è anche elemento di ma che esistono elementi di A che non sono elementi di .

Nel caso in cui tutti gli elementi di appartengono anche a si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di non è compreso nell'insieme , cioè nel caso dell'inclusione stretta.

B è propriamente incluso in A.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è , mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è . Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con un sottoinsieme e con un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che non coincide con ).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è (oppure ) per il sovrainsieme, e (oppure ) per il sovrainsieme proprio.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Siano e , allora .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:
(riflessività)
(antisimmetria)
(transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di e :

" è uguale se e solo se è contenuto in e è contenuto in ",

cioè:

  • L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme si ha che ".
  • Valgono
  • Se , allora:

Distinzione fra inclusione ed appartenenza[modifica | modifica wikitesto]

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

  • è esatta: - cioè appartiene all'insieme
  • è errata: - cioè non si può dire che è incluso nell'insieme
  • è esatta: - cioè il singoletto di è incluso nell'insieme

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Eventualmente si deve aggiungere per avere l'inclusione propria.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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