Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, che ne fu l'ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

Enunciato

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo $K$, quale ad esempio quello dei numeri reali $\mathbb {R}$ o dei numeri complessi $\mathbb {C}$.

Il sistema è rappresentato dalla matrice

$A|\mathbf {b} =\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$

associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice $A$ dei coefficienti con un'ulteriore colonna $\mathbf {b}$, detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $A|\mathbf {b}$ sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

$\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )=\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} ).$

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^{n}$ di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$. In particolare, se il campo $K$ è infinito, si ha che se $\operatorname {rk} (A)=n$, allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.
Valgono le seguenti due relazioni:

• $\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )\geqslant \operatorname {rk} (A|\mathbf {0} ),$
• $\max\{\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )\}=\min\{n,m\},$

dove $n$ è il numero di incognite, e $m$ è il numero di equazioni del sistema.

Dimostrazione

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo la matrice colonna delle incognite

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

ed usando il prodotto fra matrici:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b} .$

Questa relazione esprime la richiesta che il vettore dei termini noti $\mathbf {b}$ si ottenga dall'applicazione lineare $L_{A}\colon K^{n}\to K^{m}$, associata alla matrice dei coefficienti, applicata al vettore delle incognite $\mathbf {x}$:

$L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} .$

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $\mathbf {b}$ è l'immagine di almeno un vettore $\mathbf {x}$ di $K^{n}$, ossia se e solo se fa parte dell'immagine di $L_{A}$. Si noti che l'immagine di $L_{A}$ è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di $A$. Quindi $\mathbf {b}$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo spazio generato dalle colonne di $A$ contiene $b$, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di $A$ è uguale allo spazio generato dalle colonne di $A|\mathbf {b}$. Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione $\mathbf {x} _{0}$, ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$, dove $\mathbf {v}$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:

$A\mathbf {v} =0,$

infatti

$A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} .$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$, è quindi il sottospazio affine dato da

$\operatorname {Sol} (A|\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A|\mathbf {0} ).$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale a $n-\operatorname {rk} (A)$, ossia alla dimensione del nucleo di $L_{A}$ che è un sottospazio vettoriale di $K^{n}$ di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$ per il teorema della dimensione. Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$, è quindi un sottospazio affine della stessa dimensione.

Se $\operatorname {rk} (A)=n$, allora $\dim(\ker A)=0$, quindi il nucleo contiene solo il vettore nullo e la soluzione è unica. Se invece $\operatorname {rk} (A)<n$, allora $\dim(\ker A)\geq 1$, ossia esiste almeno un vettore $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ nel nucleo. Se $K$ è infinito, i vettori $\lambda \mathbf {v}$ con $\lambda \in K$ sono tutti distinti e quindi le soluzioni $\mathbf {x} _{0}+\lambda \mathbf {v}$ sono infinite.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate

• Rango (algebra lineare)
• Sistema di equazioni lineari
• Sottospazio affine
• Teorema del rango

Collegamenti esterni

• Rouche-Capelli, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.