Teorema di Sylvester

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare su , ovvero una forma sesquilineare (detta anche forma hermitiana) definita positiva.

Due prodotti scalari e sono detti isometrici (o congruenti) se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo , cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

Due vettori e di sono ortogonali per se , e il radicale di è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore è isotropo se .

Una base ortogonale di rispetto a è una base di vettori che sono a due a due ortogonali. Si consideri e si definisca la segnatura della base come la terna di interi, dove:

  • è il numero di vettori della base per cui .
  • è il numero di vettori della base per cui .
  • è il numero di vettori della base per cui .

Una tale definizione non avrebbe senso per , perché non ha un ordinamento naturale.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, e una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale di dimensione n, allora:

  • Esiste una base ortogonale di per .
  • Due basi ortogonali per hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da .
  • Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono isomorfi e congruenti.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria (congruenza): due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici (congruenti) se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso di dimensione n, allora:

  • Esiste una base ortogonale di per .
  • Due basi ortogonali per contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da .
  • Due prodotti scalari con lo stesso rango sono isomorfi e congruenti.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria (congruenza).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica