Teorema di Sylvester

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare \phi su V, ovvero una forma sesquilineare definita positiva.

Due prodotti scalari \phi e \psi sono detti isometrici se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo T: V \to V, cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

 \phi(\mathbf v, \mathbf w) = \psi(T(\mathbf v),T(\mathbf w)) \quad \forall \mathbf v , \mathbf w \in V

Due vettori \mathbf v e \mathbf w di V sono ortogonali per \phi se \phi(\mathbf v,\mathbf w)=0, ed il radicale di \phi è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di \phi è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore \mathbf v è isotropo se  \phi(\mathbf v,\mathbf v) = 0 .

Una base ortogonale di V rispetto a \phi è una base di vettori \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n che sono a due a due ortogonali. Si consideri K=\mathbb{R} e si definisca la segnatura della base come la terna  (i_+, i_-, i_0) di interi, dove:

  •  i_+ è il numero di vettori \mathbf v_i della base per cui  \phi (\mathbf v_i, \mathbf v_i) >0 .
  •  i_- è il numero di vettori \mathbf v_i della base per cui  \phi (\mathbf v_i, \mathbf v_i) <0 .
  •  i_0 è il numero di vettori \mathbf v_i della base per cui  \phi (\mathbf v_i, \mathbf v_i) =0 .

Una tale definizione non avrebbe senso per K=\mathbb{C}, perché \mathbb{C} non ha un ordinamento naturale.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, ed una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se \phi è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale V di dimensione n, allora:

  • Esiste una base ortogonale di V per \phi.
  • Due basi ortogonali per V hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da \phi.
  • Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono isomorfi.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se \phi è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso V di dimensione n, allora:

  • Esiste una base ortogonale di V per \phi.
  • Due basi ortogonali per V contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da \phi.
  • Due prodotti scalari con lo stesso rango sono isomorfi.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica