Polinomio minimo

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Matrici quadrate[modifica | modifica wikitesto]

Data una matrice quadrata a valori in un certo campo , si considera l'insieme:

di tutti i polinomi che si annullano in . Questo insieme risulta essere un ideale nell'anello di tutti i polinomi con coefficienti in .

L'anello è un anello euclideo: è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto. Conseguentemente, è un anello ad ideali principali: ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

è generato da un elemento . Tale elemento è unico solo a meno di moltiplicazione per una costante non nulla: è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine più grande). Si definisce quindi il polinomio minimo di tale polinomio .

Endomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Dato un endomorfismo:

di uno spazio vettoriale su di dimensione finita, il polinomio minimo di è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

formato da tutti i polinomi che annullano . L'endomorfismo è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi.

Polinomio caratteristico[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se è il polinomio caratteristico di una matrice allora . Quindi è un elemento dell'ideale , e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico si decompone in fattori primi come:

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

dove:

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

Triangolarizzabilità[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo .

Diagonalizzabilità[modifica | modifica wikitesto]

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica.

Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo a essa associato ha tutte radici nel campo di molteplicità uguale a .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Grado uno[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio minimo di una matrice ottenuta moltiplicando uno scalare per la matrice identità è pari a:

D'altra parte, se è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo .

Diagonale[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

è

mentre il polinomio caratteristico è:

Blocco di Jordan[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio minimo di un blocco di Jordan:

è:

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Diagonalizzabilità[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

Proiezioni[modifica | modifica wikitesto]

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo tale che:

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

vale . Ne segue che appartiene all'ideale , ed è quindi diviso dal polinomio minimo di . Poiché ha due radici 0 e 1 di molteplicità 1, anche ha radici di molteplicità 1, e quindi è diagonalizzabile.

Involuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Una involuzione è un endomorfismo tale che:

Analogamente, è radice del polinomio che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da . Quindi è diagonalizzabile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Dummit, D. and Foote, R. Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.
  • (EN) Herstein, I.N., §6.7 in Topics in Algebra, 2nd ed. New York: Wiley, 1975.
  • (EN) Jacobson, N. §3.10 in Basic Algebra I. New York: W. H. Freeman, 1985.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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