Caratteristica (algebra)

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In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale n diverso da zero tale che l'elemento

 \begin{matrix} \underbrace{1+1+\dots+1} \\ n \mathrm{~volte}\end{matrix}

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se 1+1+...+1 è sempre diverso da zero, la caratteristica è 0 per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica 2.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Caratteristica di un elemento[modifica | modifica sorgente]

Più generalmente, la caratteristica di un elemento a è il più piccolo k tale che

 \begin{matrix} \underbrace{a+a+\dots+a} \\ k \end{matrix}

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Numero primo[modifica | modifica sorgente]

Nei domini di integrità, la caratteristica è 0 oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo 0=1) che è l'unico dominio con caratteristica 1.

Anello finito[modifica | modifica sorgente]

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Sottoanelli, morfismi[modifica | modifica sorgente]

Se A è un sottoanello di B, ha la stessa caratteristica di B.

Più in generale, se A e B sono anelli e  A \to B è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di B divide quella di A.

Endomorfismo di Frobenius[modifica | modifica sorgente]

Se la caratteristica di un anello A è un numero primo p, allora

 (x + y)^p = x^p + y^p

per tutti gli elementi  x, y in A. La mappa

 f:x \mapsto x^p

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se A è un dominio d'integrità.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Campi razionali, reali, complessi[modifica | modifica sorgente]

I campi Q, R e C dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Anelli finiti[modifica | modifica sorgente]

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello Z/nZ delle classi di resto modulo n, ha caratteristica n.

Numeri p-adici[modifica | modifica sorgente]

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica  p^k con k tendente a infinito.

Caratteristica di un campo[modifica | modifica sorgente]

Come detto sopra, la caratteristica di un campo K è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità 1 è un sottocampo di K che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo Q dei numeri razionali. Se è p, è isomorfo ad un campo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica p, ad esempio la chiusura algebrica di Z/pZ.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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