Caratteristica (algebra)

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In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale diverso da zero tale che l'elemento

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se è sempre diverso da zero, la caratteristica è per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Caratteristica di un elemento[modifica | modifica wikitesto]

Più generalmente, la caratteristica di un elemento è il più piccolo tale che

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Numero primo[modifica | modifica wikitesto]

Nei domini di integrità, la caratteristica è oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo ) che è l'unico dominio con caratteristica .

Anello finito[modifica | modifica wikitesto]

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Sottoanelli, morfismi[modifica | modifica wikitesto]

Se è un sottoanello di , ha la stessa caratteristica di .

Più in generale, se e sono anelli e è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di divide quella di .

Endomorfismo di Frobenius[modifica | modifica wikitesto]

Se la caratteristica di un anello è un numero primo , allora

per tutti gli elementi in . La mappa

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se è un dominio d'integrità.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Campi razionali, reali, complessi[modifica | modifica wikitesto]

I campi , e dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Anelli finiti[modifica | modifica wikitesto]

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello delle classi di resto modulo , ha caratteristica .

Numeri p-adici[modifica | modifica wikitesto]

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica con tendente a infinito.

Caratteristica di un campo[modifica | modifica wikitesto]

Come detto sopra, la caratteristica di un campo è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità è un sottocampo di che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo dei numeri razionali. Se è , è isomorfo ad un campo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica , ad esempio la chiusura algebrica di .

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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