Teorema di diagonalizzabilità

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il teorema di diagonalizzabilità è uno strumento che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata sia diagonalizzabile.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice quadrata con righe ed a valori in un campo (come il campo dei numeri reali o complessi). Il polinomio caratteristico di è un polinomio di grado n definito nel modo seguente:

Le radici di appartenenti al campo sono gli autovalori di .[1] Ogni autovalore ha una sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico, detta molteplicità algebrica.[2] Un autovalore con molteplicità algebrica 1 si dice semplice.

L'autospazio relativo all'autovalore è l'insieme di tutti gli autovettori aventi come autovalore, più il vettore nullo:[3]

Si dice molteplicità geometrica (o nullità) di la dimensione dell'autospazio relativo a . Un autovalore per cui vale l'uguaglianza tra le due molteplicità (algebrica e geometrica) si dice regolare.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di diagonalizzabilità afferma che è diagonalizzabile se e solo se sono verificate entrambe le seguenti condizioni :

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è .
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.

Oppure equivalentemente, che è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori è .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Il primo punto del teorema implica che il polinomio caratteristico abbia tutte le radici nel campo, ovvero che si possa fattorizzare come prodotto di polinomi di grado 1. Inoltre, dette e rispettivamente la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore , per ogni autovalore valgono le seguenti disuguaglianze:

Di conseguenza, il teorema di diagonalizzabilità ha come corollario i fatti seguenti:

  • Se il polinomio caratteristico ha radici distinte nel campo, è diagonalizzabile.
  • Se esiste un autovalore tale che allora non è diagonalizzabile.
  • La forma diagonale di un endomorfismo non è univocamente individuata ma è definita a meno di permutazioni sulla diagonale principale.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Verifichiamo che la seguente matrice non è diagonalizzabile:

Il suo polinomio caratteristico ha una sola radice (ovvero 1 poiché ), con molteplicità algebrica 2. Quindi il primo punto del teorema è soddisfatto. A questo punto la molteplicità geometrica dell'autovalore 1 può essere solo 1 o 2. Questa è pari alla dimensione del nucleo di B = A - I. La matrice B ha rango 1, quindi per il teorema della dimensione il suo nucleo ha dimensione 2-1 = 1. Quindi la molteplicità geometrica è 1, quella algebrica è 2: la matrice non è diagonalizzabile.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 228
  2. ^ S. Lang, Pag. 230
  3. ^ Per definizione, un autovettore è sempre diverso da zero. Per questo motivo si aggiunge il vettore nullo nella definizione di autospazio.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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