Polinomio caratteristico

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In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice quadrata a valori in un campo . Il polinomio caratteristico di nella variabile è il polinomio definito nel modo seguente:[1]

cioè è il determinante della matrice , ottenuta sommando e . Qui denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di , e quindi è la matrice diagonale avente il valore su ciascuna delle n caselle della diagonale principale.

In particolare, è autovalore di se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.[2]

Grado e coefficienti del polinomio[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice quadrata di ordine . Il polinomio caratteristico di ha grado . Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

Il coefficiente di del polinomio è la somma moltiplicata per dei determinanti dei minori "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se è una matrice 2 per 2 si ha:

Autovalori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Autovettore e autovalore.

Le radici in del polinomio caratteristico sono gli autovalori di .[2]

Questo si dimostra formalmente ponendo autovettore di . Si ha allora , ed in particolare:

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione è non nullo se è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

Se è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori sulla diagonale principale, allora:

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità e Similitudine fra matrici.

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.[3] Infatti, se:

per qualche matrice invertibile , si ottiene:

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet.

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo di uno spazio vettoriale a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che è diagonalizzabile se esiste una base di rispetto alla quale la matrice che rappresenta è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.[4] In particolare, la base che diagonalizza è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n, ovvero il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ovvero la dimensione degli autospazi è pari alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha n autovalori distinti nel campo allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizione[modifica | modifica wikitesto]

La matrice trasposta ha lo stesso polinomio caratteristico di . Infatti

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Data:
allora:
e quindi:
Gli autovalori di sono le radici del polinomio: 4 e 1.
  • Data:
in modo analogo si trova:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 227
  2. ^ a b S. Lang, Pag. 228
  3. ^ S. Lang, Pag. 229
  4. ^ S. Lang, Pag. 114

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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