Teorema di Hamilton-Cayley

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In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell'anello delle trasformazioni lineari (o delle matrici quadrate).

Più precisamente, se è la trasformazione lineare nello spazio -dimensionale (o, equivalentemente, una matrice ) e è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:

Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Cayley–Hamilton vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale su un campo è una trasformazione lineare . L'insieme degli endomorfismi su , con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una -algebra denotata con o . Analogamente, le matrici quadrate di dimensione a valori in , con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una -algebra denotata con o .

Se ha dimensione , considerando una base per si può associare ad ogni endomorfismo di una matrice di tramite un isomorfismo.

Inoltre, considerando un polinomio a coefficienti in , se è un qualsiasi elemento di una -algebra si definisce l'elemento dell'algebra come quello ottenuto da tramite le operazioni prescritte da (somma, prodotto per scalare e fra elementi dell'algebra). In particolare, se è un endomomorfismo allora è un endomomorfismo, e se è una matrice allora è una matrice.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se è un endomorfismo di uno spazio vettoriale a dimensione finita e è il suo polinomio caratteristico, allora .

Analogamente, se è una matrice quadrata e il suo polinomio caratteristico, allora .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri per esempio la matrice:

Il suo polinomio caratteristico è dato da:

Il teorema di Cayley–Hamilton sostiene che:

il che si può facilmente verificare.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Diagonalizzabilità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: polinomio minimo.

Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali oppure , è diagonalizzabile.

Potenza di matrice[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:

si può calcolare nel modo seguente:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui sia il campo dei numeri reali o complessi: sia una matrice quadrata con righe. Si supponga inizialmente che sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi è simile a , in altre parole esiste una matrice invertibile tale che:

Le matrici e hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si spezza come:

dove sono gli autovalori di (con molteplicità), presenti sulla diagonale di . Qui è facile verificare che è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:

Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici in . La funzione che associa ad una matrice la matrice è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.

Nel caso di matrici su un campo qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare alla sua chiusura algebrica . In la matrice ha dunque autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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