Minore (algebra lineare)

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In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da eliminando alcune righe e/o colonne di .

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una sottomatrice di una matrice , con e interi non negativi, è una matrice , con e interi tali che e , ottenuta da rimuovendo righe e colonne.

Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con ). Il numero è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un minore di ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da . Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento di una matrice quadrata si ottiene togliendo l'-esima riga e la -esima colonna e si indica con o con . Se il minore complementare viene considerato con il segno esso è detto complemento algebrico o cofattore di .

Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.

Sia una matrice e siano un sottoinsieme di con elementi e un sottoinsieme di con elementi. Indicando con il minore di che corrisponde alle righe con indice in e colonne con indice in :

  • Se allora è detto minore principale (o dominante).
  • Se si prendono ordinatamente le prime righe e colonne allora il minore principale è detto minore principale di guida (o minore principale di testa o minore nord-ovest). Un minore principale di guida, quindi, è un minore ottenuto togliendo le ultime righe e colonne. Per una matrice quadrata vi sono minori principali di guida.
  • Per una matrice hermitiana i minori principali di guida possono essere usati per verificare se la matrice è una matrice definita positiva; si veda ad esempio il criterio di Sylvester.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il rango di una matrice è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di . Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici di con elevato numero di righe e/o colonne.

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.

Data una matrice ad elementi reali e rango , allora esiste almeno un minore di ordine non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la matrice :

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

I minori di ordine sono:

Alcuni dei minori di ordine sono:

Infine i minori di ordine :

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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