Matrice hermitiana

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In algebra lineare una matrice hermitiana (dal nome del matematico francese Charles Hermite) o matrice autoaggiunta è una matrice a valori complessi che coincide con la propria trasposta coniugata (o matrice aggiunta). Una matrice hermitiana con elementi nel campo dei numeri reali è dunque una matrice simmetrica.

Le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice di elementi è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di è denotata con , quindi se è hermitiana si scrive:

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco è usato per indicare sia la complessa coniugata che .

Un esempio di matrice hermitiana è:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma , dove è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane e , invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se .

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione : gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi ( e ), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto non è hermitiana (mentre lo è ).

Ogni matrice hermitiana di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale: è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di formata solo da autovettori di . Se n autovettori ortonormali di una matrice hermitiana sono scritti come colonne di una matrice , allora la decomposizione spettrale di è data da:

dove e dunque:

dove sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale .

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti, da cui ; quindi se allora . In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F.R. Gantmacher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
  • (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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