Operatore aggiunto

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In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A* o A (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Spazio di Banach[modifica | modifica wikitesto]

Siano e spazi di Banach e un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di l'operatore lineare limitato definito dalla relazione:[1]

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da a allo spazio degli operatori lineari limitati da a .[2] Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.[3]

Spazio di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano , e sia un operatore lineare continuo in . Per ogni di si definisce il funzionale lineare:

tale che:

per ogni di . Si tratta di un operatore continuo poiché è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento tale che:[4]

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A* tale che:[5]

ovvero:

Se M è la matrice che rappresenta rispetto ad una base di , la matrice che rappresenta rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.[5]

Vale inoltre il teorema che se l'operatore è aggiunto di allora:

L'operatore aggiunto è dunque tale che:

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

dalla quale si ha che:

Se si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:[6]

Operatori non limitati[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano e sia un operatore lineare densamente definito in . Sia l'insieme di tutti gli elementi tali per cui esiste tale che:

Per ogni si definisce aggiunto di l'operatore tale che:[7]

ovvero:

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che se e solo se:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:[6]

  • Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:
  • se A o B sono limitati
  • Se è un numero complesso si ha:

Inoltre, la relazione tra l'immagine di ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

Infatti:

ed inoltre:

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Spettro dell'operatore aggiunto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Lo spettro ed il risolvente di un operatore definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

Se appartiene allo spettro residuo di , allora appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto . Se invece appartiene allo spettro puntuale di , allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di .[8]

Inoltre, se è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

  • non ha spettro residuo.
  • Lo spettro è un sottoinsieme di ,ovvero gli autovalori sono reali.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 185
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 186
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 187
  4. ^ S. Lang, Pag. 197
  5. ^ a b S. Lang, Pag. 198
  6. ^ a b S. Lang, Pag. 199
  7. ^ Reed, Simon, Pag. 252
  8. ^ Reed, Simon, Pag. 194

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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