Lemma di Riesz

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il lemma di Riesz e Fréchet, vedi Teorema di rappresentazione di Riesz.

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il lemma di Riesz specifica le condizioni che garantiscono che un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale normato sia denso. Il lemma è dovuto a Frigyes Riesz.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale normato con norma , sia un elemento di e sia un sottospazio di . Si definisce la distanza tra un elemento e nel seguente modo:

Il lemma di Riesz afferma che se esiste tale che:

per ogni di modulo unitario, allora è denso in .[1] In modo equivalente, per ogni sottospazio chiuso si può sempre trovare un vettore appartenente alla sfera unitaria di tale che la sua distanza con sia arbitrariamente vicina a 1. Nel caso in cui la dimensione dello spazio è finita, o più in generale nel caso in cui lo spazio risulta riflessivo, la distanza può essere uguale a 1.

Come conseguenza, ogni spazio normato di dimensione infinita contiene una successione di vettori unitari tali che:

Il lemma di Riesz consente pertanto di mostrare se uno spazio vettoriale normato ha dimensione infinita o finita. In particolare, se la sfera unitaria chiusa è compatta allora lo spazio ha dimensione finita.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che non è denso in . Allora la chiusura di è un sottospazio proprio di . Si consideri un vettore che non appartiene a , si ha:

Quindi, per ogni esiste tale che:

Si consideri il vettore , si ha:

Scegliendo arbitrariamente prossimo a 1 si ottiene la dimostrazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Bryan P. Rynne, Youngson, Martin A., Linear Functional Analysis, 2nd, Londra, Springer, 2008, p. 47, ISBN 978-1-84800-004-9.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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