Matrice trasposta coniugata
In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Data una matrice , indicando con la sua trasposta e con l'asterisco l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata è data da:
In termini degli elementi vale la relazione:
cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:
Ad esempio:
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Valgono le seguenti proprietà:
e in generale:
Dalle precedenti proprietà si può ricavare
- ;
infatti
L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.
Denotando con il prodotto hermitiano standard fra vettori di :
Matrici hermitiane
[modifica | modifica wikitesto]Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano
Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:
è reale.
Ogni matrice quadrata complessa può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
- (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Matrice (matematica)
- Matrice hermitiana
- Matrice antihermitiana
- Matrice normale
- Matrice simmetrica
- Numero complesso
- Operatore aggiunto
- Operatore autoaggiunto
- Quoziente di Rayleigh
- Glossario sulle matrici
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice trasposta coniugata, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) T.S. Pogolkina, Adjoint matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.