Matrice trasposta

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In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La trasposta di una matrice è la matrice il cui generico elemento con indici è l'elemento con indici della matrice originaria. In simboli:

con lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici e di dimensioni opportune si abbia che:

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari ed , vale:

Più in generale, dati N scalari ed N matrici di pari dimensioni, vale:

dove indica una sommatoria.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le seguenti proprietà:

  • La trasposta della trasposta è la matrice stessa:
  • La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:
  • L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:
Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
  • Se è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:
  • Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:
  • Il prodotto scalare tra due vettori colonna e può essere calcolato come:
che può essere scritto usando la notazione di Einstein come .
  • Se ha solamente elementi reali, allora è una matrice semidefinita positiva.
  • La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:
  • Se è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio duale e Base duale.

Se e sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di come la mappa tra gli spazi duali e definita da:

Fissate due basi e di e rispettivamente, si dimostra che se è la matrice associata a rispetto tali basi allora la matrice associata a rispetto alle basi duali di e di è la trasposta di .

Ogni applicazione lineare che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare mediante la relazione:

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare data dalla mappa trasposta :

si trova che .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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