Base duale

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale su campo di dimensione finita , lo spazio duale è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da in .

Fissata per una base , la base duale è una base di univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

dove è la delta di Kronecker.

Proprietà della base duale[modifica | modifica wikitesto]

Effetto su un vettore[modifica | modifica wikitesto]

Ogni vettore di può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

Il risultato dell'applicazione di su è il seguente:

Quindi è l'applicazione che "estrae" da un vettore la -ma componente delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da .

Coordinate rispetto alla base duale[modifica | modifica wikitesto]

Sia un generico elemento di , cioè una applicazione lineare da a . Applicata su un vettore

produce la relazione:

L'applicazione è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di . D'altra parte la trasforma un vettore in un elemento del campo , per cui la è definita dagli "numeri":

Di conseguenza, la è ottenuta come combinazione lineare degli :

Infatti vale la relazione:

Ogni applicazione in può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni , e pertanto:

  • è effettivamente una base di , che ha quindi dimensione ;
  • le sono le coordinate di rispetto a tale base.

Dualità delle basi e degli spazi[modifica | modifica wikitesto]

Dualità delle basi[modifica | modifica wikitesto]

Le basi di e presentano la seguente simmetria:

  • applicando a un vettore si ottiene la i-esima componente di rispetto alla base di :
  • applicando una applicazione a si ottiene la i-esima componente di rispetto alla base di :

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Dualità degli spazi[modifica | modifica wikitesto]

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di , detto anche spazio biduale di , che si indica con ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su . Poiché , come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione , anche lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di resta "naturalmente" associato ad un vettore di . Infatti, è possibile associare ad un vettore di l'applicazione di che agendo sull'applicazione produce lo stesso scalare che produce agendo su :

L'applicazione da in definita da:

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi e sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi e sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di è effettivamente . Infatti:

Applicazioni bilineari[modifica | modifica wikitesto]

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale ad un vettore - che fino ad ora abbiamo scritto come mettendo in evidenza che è una applicazione da a - come una applicazione bilineare da a , definita nel modo seguente:

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di e di uno scalare. L'operazione può essere intesa in duplice senso: come una applicazione che agisce su un vettore o come un vettore (anzi, ) che agisce su una applicazione .

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

Identificazione di V e V*[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra e . Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di a quelli di . Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per .

Isomorfismo tramite scelta di base[modifica | modifica wikitesto]

Un isomorfismo tra e può essere costruito a partire da una base per . Questa determina una base duale , e l'isomorfismo fra e associa al vettore avente componenti l'applicazione avente uguali componenti rispetto a .

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a non è però più necessariamente la stessa : in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

Isomorfismo tramite prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

È possibile definire un isomorfismo tra e a partire da un prodotto scalare per , cioè una particolare applicazione bilineare:

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore di l'applicazione tale che:

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su . Qualora si identifichi e in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La base standard di (il piano cartesiano) è:

mentre la base standard del suo duale è:

In tre dimensioni, per una data base si può trovare la base duale (o biortogonale) con le formule:

dove l'apice indica la trasposta e:

è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori , e .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
  • (EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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