Matrice ortogonale

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile la cui trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una matrice invertibile , indicando con la sua trasposta si definisce ortogonale se:

ovvero la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può facilmente ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione è .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Basi ortonormali[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo con l'ordinario prodotto scalare. In effetti questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione .

Rileggendo similmente la relazione , si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di .

Isometrie[modifica | modifica wikitesto]

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e è un'applicazione lineare con:

per tutti gli elementi , di , allora è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo ortogonale.

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali forma un gruppo, il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con .

La sua dimensione è . Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici che vanno da 1 a , ma l'equazione relativa a con equivale a quella relativa a e quindi ci sono solo equazioni indipendenti, e quindi gradi di libertà.

Matrice ortogonale speciale[modifica | modifica wikitesto]

Il determinante di ogni matrice ortogonale è o . Questo si può dimostrare come segue:

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato .

Autovalori e decomposizioni[modifica | modifica wikitesto]

Autovalori[modifica | modifica wikitesto]

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto . Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani[modifica | modifica wikitesto]

Data una matrice ortogonale , esiste una matrice ortogonale , tale che:

dove denotano matrici di rotazione . Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di .

Decomposizione QR[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Decomposizione QR.

Se è una arbitraria matrice di tipo di rango (cioè ), si può sempre scrivere:

dove è una matrice ortogonale di tipo e è una matrice triangolare superiore di tipo con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di .

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra di Clifford.

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alle rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di sono e e un generico vettore di questo piano cartesiano si può scrivere:

La matrice ortogonale:

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice , poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

La matrice ortogonale:

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse , poiché il punto ha come immagine :

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

Si tratta delle due rotazioni nel piano di e di , rotazioni opposte: quindi le due matrici anticommutano. In formule:

Si considerino ora ed come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

sfruttando la composizione:

si trova:

Per il quadrato di una di queste entità in particolare:

Si può quindi definire come prodotto interno di e la precedente composizione, a meno della matrice unità . Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano si vede che:

Le entità ed sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche[modifica | modifica wikitesto]

Matrice ortogonale 2×2[modifica | modifica wikitesto]

Matrice ortogonale 3×3[modifica | modifica wikitesto]

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) A.I. Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Translated from Russian)
  • (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 43
  • (EN) H.W. Turnball, A.C. Aitken, An introduction to the theory of canonical matrices , Blackie & Son (1932)
  • (EN) Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. The subgroup algorithm for generating uniform random variables. Prob. in Eng. and Info. Sci., vol. 1, 15–32, 1987. ISSN 0269-9648.
  • (EN) Augustin A. Dubrulle. Frobenius Iteration for the Matrix Polar Decomposition. HP Labs Technical Report HPL-94-117. December 16, 1994. [1]
  • (EN) Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 3/e. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9.
  • (EN) Nicholas Higham. Computing the Polar Decomposition—with Applications. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(4):1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. [2]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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