Rotazione (matematica)

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Una sfera che ruota intorno a un asse

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:

  1. il verso (orario-antiorario);
  2. l'ampiezza dell'angolo di rotazione;
  3. il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Rotazione antioraria nel piano
Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: isometria del piano.

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione , la quale supposta antioraria dipende da un angolo , e che trasforma il vettore in

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango . Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo intorno all'origine.

La matrice che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia un punto qualsiasi e siano e le sue coordinate polari. Si ha

il punto , immagine di in una rotazione antioraria di un angolo , ha coordinate polari . Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga al posto di :

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:

Nel piano complesso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Rotazione nel piano complesso e Gruppo circolare.

Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario.

In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo , con centro nell'origine, si scrive come

L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale sono isomorfi.

Tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Rotazione in un sistema tridimensionale

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta passante per l'origine, e da un angolo di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale , dove è il vettore di lunghezza uno contenuto in e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse trasforma il vettore di coordinate in:

Senza cambiare base, la rotazione di un angolo intorno ad un asse determinata dal versore (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:

Dimensione arbitraria[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.

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Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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