Gruppo ortogonale

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In matematica, il gruppo ortogonale di grado su un campo è il gruppo delle matrici ortogonali a valori in . Si indica con o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con .

Quando è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione Le matrici aventi determinante uguale a formano un sottogruppo, che si indica con , detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali[1].

Quando il campo non è menzionato, si sottintende che è il campo dei numeri reali . In questa voce, parleremo soltanto del caso .

Proprietà basilari[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice ortogonale ha determinante oppure Il sottoinsieme di formato da tutte le matrici con determinante è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con . Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione Il sottogruppo è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Topologia[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è

Dimensioni basse[modifica | modifica wikitesto]

  • Per , il gruppo consta di due elementi, e
  • Per , il gruppo è isomorfo al gruppo quoziente dove è l'insieme dei numeri reali e il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con , e topologicamente è una circonferenza.
  • Per , il gruppo è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come

Gruppo fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo fondamentale di è il gruppo dei numeri interi. Per ogni il gruppo fondamentale di è invece il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con , e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo è chiamato gruppo Spin.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, p. 58, ISBN 88-339-5548-6.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 88-339-5548-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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