Gruppo ciclico

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In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento.

Un tale gruppo è isomorfo al gruppo delle classi di resto modulo , oppure al gruppo dei numeri interi. Quindi i gruppi ciclici sono fra i più semplici, e sono completamente classificati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo è ciclico se esiste un elemento del gruppo (detto generatore) tale che è l'insieme delle potenze di ad esponente intero, in simboli

Stiamo qui usando la notazione moltiplicativa. Quando si usa la notazione additiva, invece che di potenze si parla di multipli, dunque in simboli

Ad esempio, se

allora è ciclico.

In altre parole, coincide con il sottogruppo generato da . Si usa quindi scrivere oppure .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Classi di resto[modifica | modifica wikitesto]

L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.

Poiché è un sottogruppo normale di di indice , il gruppo quoziente è un gruppo commutativo finito con elementi, che possiamo scrivere . La somma fra due elementi e è il resto della divisione di per . Poiché ogni elemento si scrive come (sommato volte), il numero è generatore del gruppo. Quindi è un gruppo ciclico.

Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata invece di .

Altri esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • I numeri interi sono un gruppo ciclico di ordine infinito.
  • Le rotazioni del piano cartesiano che sono simmetrie di un poligono regolare con lati centrato nell'origine formano un gruppo ciclico di ordine .
  • Le radici n-esime dell'unità nel piano complesso formano un gruppo ciclico di ordine tramite moltiplicazione.
  • Il gruppo di Galois di ogni estensione finita di un campo finito è finito e ciclico.
  • Dato un gruppo ed un elemento di , il sottogruppo generato da è un gruppo ciclico.

Proprietà dei gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Gruppo abeliano[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo ciclico è abeliano.

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo ciclico con elementi è isomorfo al gruppo delle classi di resto modulo se è finito, ed isomorfo al gruppo dei numeri interi se è infinito.

L'isomorfismo può essere costruito nel modo seguente. La funzione che manda l'intero nella potenza del generatore di è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Se è infinito, la funzione è anche iniettiva, dunque un isomorfismo. Se invece è finito, di ordine , il nucleo della funzione è ed il primo teorema d'isomorfismo fornisce un isomorfismo .

Ordine[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto scritto sopra, un gruppo ciclico è identificato, a meno di isomorfismo, dal suo ordine .

Sia un gruppo ciclico finito, con generatore . In questo caso, l'ordine è il minimo intero positivo tale che . Più in generale, se e solo se è un multiplo di .

Per ogni altro elemento del gruppo, vale comunque la relazione .

Generatori[modifica | modifica wikitesto]

L'elemento è generatore di se e solo se è coprimo con . Quindi ci sono generatori distinti in un gruppo ciclico con elementi, dove è la funzione φ di Eulero.

Sottogruppi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni sottogruppo ed ogni gruppo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.

Se è ciclico di ordine ed divide allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine .

Prodotti di gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine e ha ordine ed è ciclico se e solo se e sono coprimi.

D'altra parte, il teorema fondamentale per i gruppi abeliani finitamente generati asserisce che ogni gruppo abeliano finitamente generato è prodotto di gruppi ciclici.

Gruppi con p elementi[modifica | modifica wikitesto]

Se è un numero primo, ogni gruppo con elementi è isomorfo a . In altre parole, ogni gruppo con elementi è isomorfo ad un gruppo ciclico.

Un tale gruppo possiede solo i due sottogruppi banali e stesso.

Struttura di anello di Z/n Z[modifica | modifica wikitesto]

Anello[modifica | modifica wikitesto]

Il sottogruppo è anche un ideale nell'anello commutativo , e quindi eredita anche una struttura di anello commutativo. In altre parole, si può fare il prodotto fra due numeri: il prodotto fra e è il resto della divisione di per .

Se è primo, l'anello è in verità un campo. Se non è primo, abbiamo per qualche . Questa relazione nel gruppo diventa : quindi l'anello non è un dominio di integrità, e quindi a maggior ragione non può essere un campo.

Gruppo delle unità[modifica | modifica wikitesto]

Le unità dell'anello sono i numeri primi con , ovvero i generatori del gruppo. Formano un gruppo con la moltiplicazione, di elementi (vedi sopra), indicato generalmente come .

Ad esempio, i gruppi e sono isomorfi rispettivamente a e .

In generale, è ciclico se e solo se è , , o dove è un primo dispari e .

In particolare, il gruppo è ciclico con elementi per ogni primo . Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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