Classe laterale

La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione

Sia $(G;\cdot )$$(G;\cdot )$ un gruppo e sia $H$$H$ un suo sottogruppo e $a\in G$$a \in G$. La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di $H$$H$ in $G$$G$ rappresentato da $a$$a$ è l'insieme:

$Ha=\{ha:h\in H\}$$Ha=\{ha:h\in H\}$

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di $H$$H$ in $G$$G$ rappresentato da $a$$a$ come l'insieme:

$aH=\{ah:h\in H\}$$aH=\{ah:h\in H\}$

Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione d'equivalenza $\sim$$\sim$ definita in $G$$G$ ponendo per $a,b\in G$$a,b\in G$:

$a\sim b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.$$a\sim b\Longleftrightarrow ba^{{-1}}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.$

La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$$g$ è proprio $Hg$$Hg$: infatti $g=eg$$g=eg$, dove $e$$e$ è l'elemento neutro di $G$$G$: quindi $e\in H$$e\in H$ perché $H$$H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.$$a\sim b\Longleftrightarrow a^{{-1}}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.$

Proprietà

Si verifica che in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo $H$$H$ nel gruppo $G$$G$, e si indica talvolta con $i(H)$$i(H)$. Inoltre due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità.

In particolare, se $G$$G$ è finito e ha $n$$n$ elementi, e una classe laterale ha $m$$m$ elementi, si ha $n=m\cdot i(H)$$n=m\cdot i(H)$: quindi l'indice del sottogruppo $H$$H$ e la cardinalità di una sua classe laterale sono divisori della cardinalità di G. In particolare questo è vero per il sottogruppo $H$$H$, comunque esso venga scelto, perché esso corrisponde alla classe laterale $eH$$eH$, con $e$$e$ elemento neutro di $G$$G$.

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo $N$$N$ di G che definisce una unica partizione, cioè tale che $gN=Ng\;\forall g\in G$$gN=Ng\;\forall g\in G$, si dice sottogruppo normale di G; esso consente la definizione di un gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Classe laterale, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Classe laterale sinistra, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Classe laterale destra, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) O. A. Ivanova, Coset in a group, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.