Classe laterale

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La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo e sia un suo sottogruppo e . La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di in rappresentato da è l'insieme:

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di in rappresentato da come l'insieme:

Descrizione tramite classi di equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione d'equivalenza definita in ponendo per :

La classe di equivalenza contenente l'elemento è proprio : infatti , dove è l'elemento neutro di : quindi perché è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Si verifica che in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo nel gruppo , e si indica talvolta con . Inoltre due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità.

In particolare, se è finito e ha elementi, e una classe laterale ha elementi, si ha : quindi l'indice del sottogruppo e la cardinalità di una sua classe laterale sono divisori della cardinalità di G. In particolare questo è vero per il sottogruppo , comunque esso venga scelto, perché esso corrisponde alla classe laterale , con elemento neutro di .

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo di G che definisce una unica partizione, cioè tale che , si dice sottogruppo normale di G; esso consente la definizione di un gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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