Classe laterale

La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione

Sia $(G;\cdot )$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo e $a\in G$. La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ è l'insieme:

$Ha=\{ha:h\in H\}$

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ come l'insieme:

$aH=\{ah:h\in H\}$

Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione d'equivalenza $\sim$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:

$a\sim b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.$

La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$: quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.$

Proprietà

Si verifica che in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo $H$ nel gruppo $G$, e si indica talvolta con $i(H)$. Inoltre due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità.

In particolare, se $G$ è finito e ha $n$ elementi, e una classe laterale ha $m$ elementi, si ha $n=m\cdot i(H)$: quindi l'indice del sottogruppo $H$ e la cardinalità di una sua classe laterale sono divisori della cardinalità di G. In particolare questo è vero per il sottogruppo $H$, comunque esso venga scelto, perché esso corrisponde alla classe laterale $eH$, con $e$ elemento neutro di $G$.

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo $N$ di G che definisce un'unica partizione, cioè tale che $gN=Ng\;\forall g\in G$, si dice sottogruppo normale di G; esso consente la definizione di un gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre.

Bibliografia

• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7, OCLC 956260268. URL consultato il 13 ottobre 2022.
• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581. URL consultato il 13 ottobre 2022.
• Serge Lang, Algebra, Revised Third Edition, 2002, ISBN 0-387-95385-X, OCLC 48176673. URL consultato il 13 ottobre 2022.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Classe laterale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Classe laterale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.