Cardinalità

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In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi.

La cardinalità di un insieme è indicata con i simboli , oppure .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione, valida anche per insiemi infiniti, è astratta ed è una generalizzazione del concetto di numero naturale.

La definizione segue i seguenti passi:

  1. due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti o anche "equinumerosi" se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se a ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa;
  2. si constata che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza (in realtà essa gode solamente delle proprietà che caratterizzano le relazioni d'equivalenza ma in teoria assiomatica degli insiemi non è una relazione d'equivalenza a causa del fatto che l'"insieme di tutti gli insiemi equipotenti a un assegnato insieme A" non è un insieme, ma una classe propria). Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali;
  3. gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti;
  4. si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con l'insieme dei naturali: questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo , da leggersi aleph-zero;
  5. indichiamo con la più piccola cardinalità più che numerabile. Questo processo può proseguire e si può individuare una successione di entità che si dicono numeri cardinali transfiniti;
  6. si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con . L'Ipotesi del continuo afferma ;
  7. si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con la totalità delle funzioni di variabile reale a valori reali; questa classe si dice cardinalità delle funzioni e si denota con . Secondo l'ipotesi del continuo generalizzata .

È fondamentale il teorema di Cantor-Bernstein:

siano e due insiemi; se esistono un'applicazione iniettiva di in e un'applicazione iniettiva di in allora e sono equipotenti.

Ad esempio, l'intervallo di numeri reali è equipotente all'intervallo infatti la funzione è iniettiva, ma anche la funzione è iniettiva, quindi per il teorema di Cantor-Bernstein gli insiemi e sono equipotenti.

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