Corrispondenza biunivoca

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Un esempio di funzione biiettiva

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi e è una relazione binaria tra e , tale che ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di , e viceversa ad ogni elemento di corrisponda uno ed un solo elemento di . In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

è biiettiva se per ogni elemento di vi è uno e un solo elemento di tale che .

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Iniettività e suriettività[modifica | modifica wikitesto]

  • Una funzione è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva [1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:
    • implica , per ogni , scelti in ;
    • , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità[modifica | modifica wikitesto]

  • Una funzione è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione tale che la funzione composta venga a coincidere con la funzione identità su e che la funzione coincida con l'identità su . La funzione se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di e denotata con .

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

  • La composizione di due funzioni biiettive e è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti[modifica | modifica wikitesto]

  • Se e sono insiemi finiti, si può costruire una obiezione tra e se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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