Cardinalità del continuo

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In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere ,

.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Non numerabilità[modifica | modifica wikitesto]

Georg Cantor introdusse il concetto di cardinalità di un insieme per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò che l'insieme dei numeri reali è non numerabile, cioè che è maggiore della cardinalità dei numeri naturali, indicata con (aleph-zero):

In altre parole, esistono più numeri reali che numeri interi. Cantor dimostrò questa affermazione in diversi modi, si vedano le voci sulla prima dimostrazione di non numerabilità di Cantor e sull'argomento diagonale di Cantor.

Uguaglianze tra numeri cardinali[modifica | modifica wikitesto]

Una variante dell'argomento diagonale di Cantor può essere usata per dimostrare il teorema di Cantor, che afferma che la cardinalità di ogni insieme è strettamente minore di quella del suo insieme delle parti, e cioè . Si può concludere che l'insieme delle parti dell'insieme dei numeri naturali è non numerabile. È dunque naturale chiedersi se la cardinalità di sia uguale a . La risposta è affermativa. Si può dimostrare questa affermazione in due passi:

  1. Si definisce una applicazione dall'insieme dei numeri reali all'insieme delle parti dei numeri razionali che associa ad ogni numero reale l'insieme di tutti i razionali minori o uguali a (se si considerano i reali costruiti mediante sezioni di Dedekind, questa applicazione non è altro che l'inclusione nell'insieme degli insiemi di numeri razionali). Questa applicazione è iniettiva, perché i razionali sono densi nei reali. Dato che i razionali sono numerabili si ottiene che .
  2. Sia l'insieme delle successioni che assumono valori nell'insieme . Questo insieme ha cardinalità (l'applicazione biunivoca naturale tra l'insieme delle successioni binarie e è data dalla funzione caratteristica). Poi si associ ognuna di queste successioni al numero reale appartenente all'intervallo unitario che abbia come parte decimale (espressa in base 3) la successione . Questo significa che la -esima cifra dopo la virgola è data proprio da . L'immagine di questa applicazione è l'insieme di Cantor. Inoltre questa applicazione è iniettiva, perché evitando i punti con la cifra 1 nella loro espansione decimale in base 3 si evita l'ambiguità dovuta al fatto che l'espansione decimale di un numero reale non è unica. Si ha dunque che .

Per il teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder si conclude che

Numeri beth[modifica | modifica wikitesto]

La successione dei numeri beth è definita ponendo e . Dunque è il secondo numero beth, beth-uno

Il terzo numero beth, , è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri reali.

Utilizzando le regole dell'aritmetica dei numeri cardinali si può dimostrare che

dove è un qualunque cardinale finito maggiore o uguale a 2.

L'ipotesi del continuo[modifica | modifica wikitesto]

La famosa ipotesi del continuo afferma che è anche il primo numero aleph, cioè . In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme avente cardinalità strettamente compresa tra e :

Oggi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi. In effetti, si ha che per ogni numero naturale diverso da zero, l'uguaglianza è indipendente da ZFC (il caso è l'ipotesi del continuo). L'affermazione è vera per molti altri aleph, anche se in alcuni casi si può dimostrare l'uguaglianza, grazie al teorema di König sulla base della cofinalità, per esempio . In particolare, può essere uguale a oppure a , dove rappresenta il primo numero ordinale non numerabile, e quindi può essere un cardinale successore o un cardinale limite, e un cardinale regolare oppure un cardinale singolare.

Insiemi con cardinalità [modifica | modifica wikitesto]

Molti insiemi studiati in matematica hanno cardinalità uguale a . Per esempio:

  • l'insieme dei numeri reali ,
  • qualunque intervallo (non degenere) aperto o chiuso in , come ad esempio l'intervallo unitario ,
  • l'insieme dei numeri irrazionali,
  • l'insieme dei numeri trascendenti,
  • lo spazio euclideo ,
  • l'insieme dei numeri complessi ,
  • l'insieme delle parti dei numeri naturali (l'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali),
  • l'insieme delle successioni di interi, spesso indicato con ,
  • l'insieme delle successioni di numeri reali, ,
  • l'insieme di tutte le funzioni continue da in (mentre l'insieme di tutte le funzioni da in ha cardinalità )[1] ,
  • l'insieme di Cantor,
  • la topologia euclidea di (cioè l'insieme di tutti gli insiemi aperti in ).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Le funzioni da in (o da in ) applicano a ogni punto di (o di ) un punto di (o ): il loro spazio ha dunque dimensione ; per le funzioni continue, ci basta fissare i valori assunti dalla funzione nelle sue coordinate razionali, ottenendo così uno spazio di dimensione .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
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