Intervallo (matematica)

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In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi e . Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Formalmente, un sottoinsieme dei numeri reali o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi e di , ogni altro elemento tale che sta anch'esso in . In gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di sono quindi gli insiemi seguenti (dove e sono due numeri reali tali che ):[1]

  1. (intervallo aperto)
  2. (intervallo chiuso)
  3. (intervallo chiuso a sinistra)
  4. (intervallo chiuso a destra)
  5. (intervallo aperto infinito a destra)
  6. (intervallo chiuso infinito a destra)
  7. (intervallo aperto infinito a sinistra)
  8. (intervallo chiuso infinito a sinistra)
  9. (tutta la retta reale)
  10. (un punto)
  11. l'insieme vuoto

I punti e sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa e rispettivamente al posto di e . Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 [2] come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza , i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza .

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • L'unione e l'intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
  • L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da in è ancora un intervallo.
  • Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
  • Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo .
  • Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, , , o l'insieme vuoto.

Notazioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Manetti, M., p. 10
  2. ^ ise.ncsu.edu, http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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