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Funzione indicatrice

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la funzione indicatrice in teoria della probabilità, vedi funzione caratteristica (teoria della probabilità).
Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se è un sottoinsieme dell'insieme , la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di è quella funzione da all'insieme che sull'elemento vale 1 se appartiene ad A, e vale 0 in caso contrario.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione indicatrice di un sottoinsieme A di X è una funzione

definita come

La funzione indicatrice di A è talvolta indicata con

Proprietà fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

La mappa che associa un sottoinsieme A di X alla sua funzione indicatrice 1A è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni f:X →{0,1}.

Se A e B sono due sottoinsiemi di X, allora

Più in generale, supponiamo che A1, ..., An sia una collezione di sottoinsiemi di X. Per ogni xX,

è chiaramente un prodotto di zeri e uni. Questo prodotto ha il valore 1 proprio in corrispondenza degli xX che non appartengono a nessuno degli insiemi Ak ed è 0 altrove. Cioè

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

Dove |F| è la cardinalità di F. Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se X è uno spazio di probabilità con misura di probabilità P e A è un insieme misurabile, allora 1A diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di A:

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della diseguaglianza di Markov.

Se è l'insieme di tutti i numeri positivi di compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

Analisi convessa[modifica | modifica wikitesto]

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una tale che

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

e

relazioni valide ponendo per convenzione e .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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