Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui

Funzione indicatrice

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la funzione indicatrice in teoria della probabilità, vedi funzione caratteristica (teoria della probabilità).
Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se è un sottoinsieme dell'insieme , la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di è quella funzione da all'insieme che sull'elemento vale se appartiene ad e vale in caso contrario.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione indicatrice di un sottoinsieme di è una funzione

definita come

La funzione indicatrice di è talvolta indicata con oppure

Proprietà fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

La funzione che associa un sottoinsieme di alla sua funzione indicatrice è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni

Se e sono due sottoinsiemi di allora

Più in generale, supponiamo che sia una collezione di sottoinsiemi di Per ogni si ha che il prodotto

è chiaramente un prodotto di e Questo prodotto ha il valore proprio in corrispondenza degli che non appartengono a nessuno degli insiemi ed è altrove. Cioè

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

Dove è la cardinalità di Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se è uno spazio di probabilità con misura di probabilità e è un insieme misurabile, allora diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della diseguaglianza di Markov.

Se è l'insieme di tutti i numeri positivi di compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

Analisi convessa[modifica | modifica wikitesto]

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una tale che

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

e

relazioni valide ponendo per convenzione e .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica