Georg Cantor

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« Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi. »
(David Hilbert[1])
Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 3 marzo 1845Halle, 6 gennaio 1918) è stato un matematico tedesco, padre della moderna teoria degli insiemi. Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo interno i concetti di numeri transfiniti, numeri cardinali e ordinali.

Biografia[modifica | modifica wikitesto]

Cantor nacque a San Pietroburgo, figlio di Georg Woldemar Cantor, un operatore di borsa danese, e di Marie Anna Böhm, una musicista di violino, cattolica, nata in Russia ma di origini austriache. Nel 1856, a causa delle condizioni di salute del padre, la famiglia si trasferì in Germania, e Georg continuò la sua educazione presso le scuole tedesche, dapprima a Darmstadt, poi in Svizzera al Politecnico federale di Zurigo, conseguendo infine il dottorato presso l'Università di Berlino nel 1867 con una tesi sulla teoria dei numeri: De aequationibus secundi gradus indeterminatis. Georg ebbe sempre nostalgia della madrepatria, dichiarandosi più russo che tedesco.

Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito, cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico.

Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Intensificò allora la lettura di testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse:

« L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, in Dio, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico. »

Impoveritosi durante la prima guerra mondiale, morì ad Halle dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Le sue teorie non incontrarono subito l'assenso dei colleghi: il matematico Leopold Kronecker, in particolare, giudicò le sue scoperte «prive di senso».[2]

Al suo nome è intitolato il cratere Cantor sulla Luna.

La teoria degli insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884).[3] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamato l'insieme potenza di A. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito A ha una grandezza maggiore della grandezza di A stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice (\aleph_0 Alef zero); per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega.

L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.

Filosofia e religione[modifica | modifica wikitesto]

Nell'opera Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, risultano citati ed esaminate con cur aun numero impressioannte di fonti filosofiche e teologiche: Agostino, Aristotele, Bolzano, Kant, Leibniz, Platone, Spinoza, Tommaso d’Aquino. Inoltre, tra gli “scolastici”: Franzelin, Pesch, Suárez, Tongiorgi; tra i filosofi: Alberto di Haller, Bayle, Berkeley, Boezio, Fichte, Gerdil, Giordano Bruno, Hamilton, Hegel, Kant, Maignan, Nicola da Cusa, Origene, Pitagora, Schelling, Sesto Empirico, Thomasius; tra gli scienziati più antichi: Cavalieri, Euclide, Galilei, Guldino, Lagrange, Newton, Torricelli.

Lettore di Agostino e Spinoza, si dichiarò sempre religioso alla maniera di Spinoza, con una forte simpatia per il cattolicesimo materno. Intratteneva scambi epistolari importanti con Weierstrass, con il filosofo K. Lasswitz e con il teologo gesuita, il cardinale G.B. Franzelin, in parte pubblicati da lui stesso (sulla rivista filosofica fichtiana: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 1887-1888) e si doleva della diffidenza che la nozione di «transfinito» suscitava negli ambienti ecclesiastici (cfr. Thuiller, 1977).

La mappa cantoriana dell’infinito si fonda sull’opposizione indeterminato/determinato e, solo secondariamente, su quella finito/infinito. Si distinguono allora: a) l’assolutamente indeterminato, o infinito inconsistente (il «cattivo» infinito, per es.: «L’insieme di tutto ciò che è pensabile», vedi supra, IV); b) le molteplicità determinate e “finite”; c) il “finito” iterato, infinito potenziale, improprio, ma non «cattivo» (contro Hegel), importantissimo in analisi matematica; d) le molteplicità «infinite ben determinate», come i transfiniti; ed infine e) Dio, assolutamente infinito

Opere di Cantor[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^
    « Aus dem paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können »
    (David Hlbert, Über das Unendliche. Mathematische Annalen, 1926, p. 170)
  2. ^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite.
  3. ^ Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1874.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Cantor, Georg (1932). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. (PDF) (Raccolta degli scritti originali di Cantor.)
  • Hilbert, David (1926). Über das Unendliche. Mathematische Annalen 95:161-190.
  • (EN) Cantor, Georg (1955, 1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1
  • (EN) Ewald, William B. (ed.) (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. ISBN 978-0-19-853271-2
  • (EN) Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press. (La biografia più completa). ISBN 978-0-691-02447-9
  • Antonino Zichichi, L'infinito. Editrice Galileo Galilei, Losanna, 1988
  • Amir D. Aczel, Il mistero dell'alef. Il Saggiatore, 2002
  • John David Barrow, L'infinito. Mondadori, 2005, capitoli V e VI.
  • David Foster Wallace, Tutto, e di più. Storia compatta dell'infinito. Codice Edizioni, 2008
  • Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.
  • Marco de Paoli, In numero et mensura. Cantor e la teoria degli insiemi, Torino 1998, Noctua

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