Teorema di Cantor

In matematica, e in particolare nella teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel (ZF), il teorema di Cantor, sviluppato dall'omonimo matematico tedesco Georg Cantor, è un teorema che afferma che per ogni insieme $A$ , di qualsiasi cardinalità (finita o infinita), il suo insieme delle parti ${\mathcal {P}}(A)$ ha sempre cardinalità strettamente maggiore.

\mathrm {card({\mathcal {P}}(A))} >\mathrm {card(A)}

Per quanto riguarda gli insiemi finiti, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità. La cardinalità di $A$ è $n$ . La cardinalità di ${\mathcal {P}}(A)$ , contando l'insieme vuoto $\varnothing$ e $A$ stesso come sottoinsiemi di $A$ , vale $2^{n}$ . Di conseguenza il teorema vale, perché $2^{n}>n$ per ogni intero non negativo. Il vero e proprio teorema di Cantor specifica che questa proprietà degli insiemi finiti non si estingue quando la loro cardinalità diviene infinita. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei numeri naturali ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ , dove $\mathbb {N}$ è un infinito numerabile con cardinalità $\aleph _{0}=\mathrm {card(\mathbb {N} )}$ , è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei numeri reali $\mathbb {R}$ , spesso definita come cardinalità del continuo.

La relazione che lega la cardinalità di ${\mathcal {P}}(A)$ con quella di $A$ è espressa dalla disequazione $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}$ . In particolare, l'insieme delle parti di un insieme numerabile (o non numerabile) è un insieme non numerabile.

Il teorema di Cantor ha avuto un impatto immediato e importante sulla filosofia della matematica. Ad esempio, nell'applicare iterativamente l'insieme delle parti di un insieme infinito e successivamente il teorema di Cantor, otteniamo una gerarchia infinita di cardinalità infinite, ognuna strettamente maggiore della precedente. Di conseguenza, il teorema implica che non esiste una cardinalità massima per un insieme. Di conseguenza, i livelli gerarchici delle cardinalità infinite sono anch'esse infinite.^[1]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per definizione di cardinalità, abbiamo $\mathrm {card(X)} <\mathrm {card({\bar {X}})}$ per due insiemi generici $X$ e ${\bar {X}}$ , se e solo se ogni funzione da $X$ a ${\bar {X}}$ non è suriettiva (o equivalentemente ogni funzione iniettiva non è anche suriettiva).

Di conseguenza, è sufficiente dimostrare che non c'è suriezione da $X$ a ${\bar {X}}$ . Questo è il cuore del teorema di Cantor: non esiste una funzione suriettiva da un insieme al suo insieme delle parti. Per dimostrarlo, basta far vedere che non è possibile per una funzione $f$ mappare tutti gli elementi di un insieme qualsiasi $A$ a tutti i sottoinsiemi generati dall'insieme delle parti ${\mathcal {P}}(A)$ .

Quindi dobbiamo dimostrare l'esistenza di un elemento in $P(A)$ che non è contenuto nell'immagine di $f$ (Ogni $f(x)$ è sottoinsieme di $A$ ).

Sia $f$ una generica funzione da $A$ a ${\mathcal {P}}(A)$ :

f\colon A\to {\mathcal {P}}(A).

Un sottoinsieme con le proprietà appena descritte è dato dalla seguente costruzione, chiamato argomento diagonale di Cantor.

B=\left\{x\in A:x\not \in f(x)\right\}\in {\mathcal {P}}(A).

Supponiamo per assurdo quindi, che esista una funzione $f$ suriettiva da $A$ a ${\mathcal {P}}(A)$ .

Per qualche valore particolare di $\xi \in A$ , si ha allora $f(\xi )=B$ . Si considerano ora i due casi possibili:

\xi \not \in B

oppure

\xi \in B.

Allora:

${\begin{aligned}\xi \in f(\xi )&\iff \xi \in B&&{\text{(dall'assunzione che }}f(\xi )=B{\text{)}};\\\xi \in B&\iff \xi \notin f(\xi )&&{\text{(per definizione di }}B{\text{)}}.\end{aligned}}$

Si ha quindi una contraddizione. Quindi non esiste un valore $\xi \in A:f(\xi )=B$ . In altre parole, $B$ non è nell'immagine di $f$ , e $f$ non mappa a tutti gli elementi di ${\mathcal {P}}(A)$ , e quindi $f$ non è suriettiva. Per completare il teorema non resta che trovare una funzione iniettiva $g\colon A\to {\mathcal {P}}(A).$ Questa funzione è molto semplice ed è definita come la funzione che mappa $x$ all'insieme contenente solamente $x$ .

g(x)=\{x\}

La dimostrazione è terminata, in quanto abbiamo stabilito la diseguaglianza stretta per ogni insieme $A$ tale che $\mathrm {card({\mathcal {P}}(A))} >\mathrm {card(A)}$