Cofinalità

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In teoria degli insiemi, si dice cofinalità di un dato insieme totalmente ordinato il più piccolo ordinale tale che esista una funzione dall'ordinale ad cofinale (ricordiamo che una funzione si dice cofinale se la sua immagine è un sottoinsieme cofinale del codominio).

In formule,

Spesso si usa come sinonimo "illimitato" per il termine "cofinale", ma bisogna ben distinguere questa definizione di illimitato con quella generica d'ordine tra sottoinsiemi di insiemi qualunque. Infatti, in questo contesto, per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di contiene tutto , o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento esiste un elemento con .

Si dimostra che è un cardinale e si arriva alla seguente definizione equivalente:

Da notare che questa seconda definizione ha bisogno dell'assioma di scelta, mentre la prima non ne ha bisogno.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

In tutti i seguenti esempi si suppone che gli ordinamenti siano quelli "standard".

Cofinalità sugli ordinali[modifica | modifica wikitesto]

Sia α un ordinale, allora valgono le seguenti proprietà

Ordinali regolari e singolari[modifica | modifica wikitesto]

Un ordinale α si dice regolare se , mentre si dice singolare se .

Valgono i seguenti fatti:

  • 1,0 sono ordinali regolari;
  • per le proprietà viste sopra ogni ordinale successore (a parte 1) è singolare; tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio ha cofinalità ;
  • un ordinale regolare è anche un cardinale ma esistono anche cardinali che sono singolari: ad esempio ha cofinalità .
  • per ogni ordinale è un ordinale regolare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]