Cofinalità

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In teoria degli insiemi, si dice cofinalità di un dato insieme totalmente ordinato I il più piccolo numero ordinale tale che esista una funzione dall'ordinale ad I illimitata.

In formule,

cof(I) = \min\{\alpha \text{ ordinale } | \exists f:\alpha \rightarrow I\;\; f(\alpha) \text{ è illimitato in }I\}

Per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di I contiene tutto f(\alpha), o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento x \in I esiste un elemento y \geq x con y \in f(\alpha).

Talvolta si usa, come sinonimo di "illimitato", il termine "cofinale".

Ordinali regolari e singolari[modifica | modifica sorgente]

Un ordinale si dice regolare se è uguale alla propria cofinalità, singolare se è maggiore.

Un cardinale può essere regolare o singolare.

Ogni ordinale successore ,ad esclusione di 1={0}, è ovviamente non regolare; infatti cf(a+1)=1 per ogni ordinale a.

Tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio 2\omega ha cofinalità \omega.