Segmento iniziale

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In matematica si definisce segmento iniziale (o taglio iniziale, o sottoinsieme chiuso verso il basso) di un dato insieme totalmente ordinato un qualsiasi suo sottoinsieme tale che:

Il nome deriva abbastanza naturalmente dalla "forma" che un tale insieme ha: segmento perché non ha "buchi" - se sono in , ogni elemento tra e sarà in - iniziale perché contiene gli elementi di più piccoli.

Casi particolari di segmenti iniziali di un insieme sono stesso e l'insieme vuoto.

Simmetricamente, si definisce un segmento finale (o taglio finale, o sottoinsieme chiuso verso l'alto) mediante la proprietà

Gli insiemi degli interi negativi e positivi sono rispettivamente un segmento iniziale e un segmento finale di

Utilizzo e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il segmento iniziale è un oggetto matematico piuttosto utilizzato in alcuni settori della logica.

  • I tagli di Dedekind, tipicamente utilizzati per costruire i numeri reali, sono segmenti iniziali (e in realtà tutti i segmenti iniziali) di .
  • I segmenti iniziali vengono utilizzati in varie dimostrazioni riguardanti i buoni ordini. Infatti:
    • in generale l'unione di ordini non è un ordine
    • l'unione di ordini che sono a due a due inclusi l'uno nell'altro è un ordine, ma se gli ordini sono buoni ordini, il risultato della loro unione non è necessariamente un buon ordine (basti pensare ai sottoinsiemi di della forma , ognuno dei quali è bene ordinato ma la cui unione è )
    • l'unione di buoni ordini che sono a due a due segmento iniziale l'uno dell'altro invece è un buon ordine
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