Funzione iniettiva

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Un esempio di funzione iniettiva
Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole, una funzione da un insieme a un insieme è iniettiva se non si può arrivare a un elemento di in due modi diversi; è però possibile che ci siano elementi di impossibili da raggiungere da un qualsiasi elemento di .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ovvero implica ; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ovvero implica .

Simbolicamente:[1][2]

oppure, nella forma contronominale:[3]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Grafico[modifica | modifica wikitesto]

Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto

Se è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).[4]

Viceversa, se è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, . Dunque la retta interseca il grafico in almeno due punti: e .

Omomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.[5][6]

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.[7] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità[modifica | modifica wikitesto]

La funzione esponenziale, definita da alla sola immagine è invertibile, con inversa la funzione logaritmo La funzione logaritmo è l'inversa della funzione esponenziale , se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione , invertibile.

Una funzione invertibile è iniettiva, ed anche la sua inversa , essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

Se la funzione composta è iniettiva, allora è iniettiva, ma non è detto che lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva è composizione di una funzione iniettiva e di una funzione non iniettiva .

Se esistono due funzioni distinte tali che , allora non è iniettiva: infatti esiste un con , ma .

Cardinalità[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive[modifica | modifica wikitesto]

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito con elementi ad un insieme finito con elementi è pari al numero di disposizioni semplici di elementi, presi a :

.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Se è iniettiva, e e sono sottinsiemi di A, allora .
  • Ogni funzione può essere scomposta come composizione di una funzione suriettiva e di una funzione iniettiva , definendo e .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Su ogni insieme la funzione identità è iniettiva (e suriettiva).
  • L'inclusione di un sottoinsieme in , essendo restrizione dell'identità , è iniettiva.
  • Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, , è iniettiva.
  • Una funzione definita sull'insieme vuoto, , è iniettiva.
  • Una funzione costante, , definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
  • Per e , la funzione è iniettiva (e suriettiva).
  • La funzione esponenziale non è iniettiva.
  • La funzione esponenziale è iniettiva.
  • La funzione logaritmo, , è iniettiva.
  • Una funzione reale derivabile, , la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
  • Una funzione reale derivabile, , la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
  • La funzione quadrato è iniettiva.
  • La funzione quadrato non è iniettiva.
  • La funzione cubo è iniettiva.
  • La funzione cubo non è iniettiva.
  • Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Herstein, I. N., Pag. 13
  2. ^ Hungerford, T. W., Pag. 4
  3. ^ Soardi, P.M., Pag.31
  4. ^ Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9.
  5. ^ Herstein, I. N., Pag. 61
  6. ^ Hungerford, T. W., Pag. 31
  7. ^ Lang, Serge, Pag. 94

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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