Forma differenziale

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In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su un aperto dello spazio euclideo , caso particolare di -varietà differenziabile, una forma differenziale ha una dimensione minore o uguale a . Viene anche indicata brevemente come -forma. Nel caso , la forma è una ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza è la possibilità di effettuare l'integrale di su un qualsiasi oggetto geometrico dello spazio euclideo di analoga dimensione . Il risultato di questa integrazione è indicato con

Una 1-forma è quindi integrabile su una curva (del piano o dello spazio), una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale[modifica | modifica wikitesto]

Sia un aperto di . Sia un intero con

Una -forma differenziale è una scrittura del tipo:[1]

dove

è una funzione differenziabile e:

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale , che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà: in particolare il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte per brevità i simboli sono omessi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su .
Una 1-forma in si scrive come

dove le sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su .

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in si scrive come

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su :

In generale una -forma su si scrive sempre usando un unico addendo

dove è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore[modifica | modifica wikitesto]

Una -forma è una sezione liscia della -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile :

In altre parole, per ogni punto di è data una funzione multilineare antisimmetrica

dove è lo spazio tangente a in . La funzione varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di . Equivalentemente, è un campo tensoriale che associa ad ogni punto di un tensore antisimmetrico di tipo .

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo , cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Se è un insieme aperto di , in ogni punto lo spazio tangente è identificato con . La base canonica per induce quindi una base per lo spazio vettoriale del tipo

dove l'elemento rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

tramite dei coefficienti

che variano in modo liscio rispetto a . La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se allora

è lo spazio duale dei funzionali lineari su e è la base duale della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto un funzionale lineare.

Carte[modifica | modifica wikitesto]

Se è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto , ogni -forma è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Somma e prodotto per scalare[modifica | modifica wikitesto]

Due -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova -forma. Una -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle -forme su un aperto forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto esterno

di una -forma e di una -forma è una -forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

La proprietà anticommutativa implica che

I coefficienti dei però commutano fra loro e con i . Ad esempio, se

sono una 1-forma e una 2-forma su , il loro prodotto esterno è

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui e siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale , ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui e sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo e , con un segno che però dipende dal prodotto :

Derivata di una forma differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata esterna.

La derivata di una -forma è una -forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna di una -forma differenziale

è la -forma[2]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è una operazione lineare. In altre parole,

dove però sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse e esatte[modifica | modifica wikitesto]

Una forma differenziale è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una -forma è invece esatta se esiste una -forma tale che

La forma è detta primitiva di .

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché , ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su è una forma differenziale esatta per ogni intero .

Forme lineari[modifica | modifica wikitesto]

Una 1-forma differenziale

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

per ogni .

Forme lineari e domini semplicemente connessi[modifica | modifica wikitesto]

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto ). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto , ovvero dalla sua topologia.

Se è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in . In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

definita nell'aperto del piano

è chiusa ma non esatta. L'aperto non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è .

Forme lineari e analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Le 1-forme nel piano sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato con il piano complesso , è possibile definire una 1-forma complessa

a partire da una qualsiasi funzione

definita su un aperto del piano complesso. Si tratta di una usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se è una funzione olomorfa su un aperto del piano, allora la forma risulta essere chiusa. Inoltre è esatta con primitiva se e solo se è anch'essa olomorfa con derivata complessa pari a .

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

definita sull'aperto

è chiusa (perché è olomorfa) ma non esatta: la funzione non ammette infatti una primitiva su tutto , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di .

Integrazione di una forma differenziale[modifica | modifica wikitesto]

La proprietà più importante che caratterizza una -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile di dimensione dell'aperto su cui è definita. L'integrale di è indicato con il simbolo

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se , la forma è una funzione, è una unione di punti e l'integrale di su è semplicemente la somma dei valori di assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

Se ha una parametrizzazione del tipo

con variabile in un dominio di , l'integrale è definito come[1]

dove

è il determinante del jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare una orientazione su e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in ), l'integrale su è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti sono costanti):

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:[3]

Teorema di Stokes[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se è una forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta , vale la relazione

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una -forma su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea.

Una 1-forma è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva . L'integrale di lungo può essere calcolato con la formula seguente:

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto sia contenuto nel piano , la forma è del tipo

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

  • Se è esatta, l'integrale di su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
  • Conseguentemente, se è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione su non è esatta, poiché

per ogni curva avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b W. Rudin, Pag. 258
  2. ^ W. Rudin, Pag. 265
  3. ^ W. Rudin, Pag. 260

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

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