Teorema della funzione inversa

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca

In matematica, il teorema della funzione inversacondizioni sufficienti affinché una funzione possegga una inversa locale, cioè affinché essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio.

Il teorema può essere enunciato per funzioni reali o vettoriali e generalizzato per spazi di Banach e varietà differenziabili.

Sia un aperto e un punto di . Se è una funzione di classe C1 tale che il determinante jacobiano di in è non nullo:

o equivalentemente se il differenziale di in :

è un isomorfismo lineare, allora esiste un intorno di tale che la restrizione di su :

è invertibile con di classe su Inoltre per ogni vale la relazione:

Una funzione differenziabile che possiede inversa locale differenziabile si dice un diffeomorfismo locale.

La funzione definita sullo spazio euclideo bidimensionale:

possiede matrice jacobiana:

che ha determinante , non nullo se il punto non è l'origine. Pertanto è un diffeomorfismo locale in ogni punto di diverso dall'origine. Ma non è un diffeomorfismo poiché non è iniettiva: ad esempio .

Generalizzazioni

[modifica | modifica wikitesto]

Varietà differenziabili

[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema si estende al caso di funzioni tra due varietà differenziabili ed , richiedendo la condizione che il differenziale di :

sia un isomorfismo lineare tra gli spazi tangenti.

Spazi di Banach

[modifica | modifica wikitesto]

Nel contesto degli spazi di Banach, il teorema assume la seguente forma: se è una mappa tra spazi di Banach differenziabile con continuità in un intorno dello 0 e il differenziale è un isomorfismo lineare limitato di in , allora è localmente invertibile in 0 mediante una funzione differenziabile.

Voci correlate

[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni

[modifica | modifica wikitesto]
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica