Disuguaglianza di Young

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In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se e sono numeri reali positivi e tali che , allora

L'uguaglianza vale solo se , dal momento che .

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo che la funzione è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

.

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione convessa (). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,

Fissato , studiamo la derivata prima rispetto a della funzione :

Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di , che è una funzione concava, visto che è convessa), per la funzione ha un massimo. Dunque:

Dal momento che e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa (), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che sia la trasformata di Legendre di . La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:

Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di , purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Vladimir I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5601-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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