Disuguaglianza di Young

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In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se a e b sono numeri reali positivi e tali che 1/p + 1/q = 1, allora

L'uguaglianza vale solo se , dal momento che .

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo che la funzione è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

.

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

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