Classe C di una funzione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, la classe di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme è di classe se in esistono tutte le derivate fino al -esimo ordine, e la -esima è continua. Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.

La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio delle funzioni continue. In generale, è contenuto in per ogni .

Di particolare importanza è l'insieme delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sottoinsieme aperto di e . Una funzione di variabile reale si dice di classe se in ogni punto di esistono tutte le derivate parziali di fino al -esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe da in si indica generalmente con ; inoltre, è consuetudine porre anche . Se , si ha perciò che se e solo se

dove indica la proiezione di sulla -esima componente: formalmente, se per ogni poniamo

,

si ha .

Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di di ordine è stessa, segue direttamente dalla definizione che se e solo se è continua. Chiaramente, per ogni risulta .

Una funzione si dice poi di classe (o liscia) se in ogni punto di esistono tutte le derivate parziali di di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole, è liscia se e solo se per ogni . L'insieme delle funzioni lisce da in si indica generalmente con . Evidentemente si ha .

Una funzione liscia si dice di classe (o analitica) se per ogni esiste un intorno di in tale che per ogni , ove denota lo sviluppo di Taylor di centrato in . L'insieme delle funzioni analitiche da in si indica con .

È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

L'insieme di definizione[modifica | modifica wikitesto]

Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad (oppure viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se non è un aperto, l'affermazione deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che è di classe , ovvero , se e solo se esiste un aperto contenente e una funzione che estende , cioè tale che .

Lo spazio delle funzioni [modifica | modifica wikitesto]

Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se è un insieme compatto in ( naturale), lo spazio delle funzioni definite in a valori reali (o complessi) di classe è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine )

risulta essere uno spazio di Banach; è la derivata -esima di espressa nella notazione multi-indice.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • L'esponenziale è una funzione di classe , in quanto ha ogni derivata uguale a se stessa: per ogni ; più precisamente, è una funzione analitica.
  • L'identità è di classe , in quanto ha derivata prima costante uguale a e ogni derivata successiva costante uguale a . Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da in sè.
  • La tangente è una funzione di classe , cioè in tutto il suo insieme di definizione.
  • La funzione è di classe ; essa appartiene a , in quanto in non è derivabile.
  • La funzione è di classe se .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica