Grafico di una funzione

Rappresentazione visiva del grafico di una funzione cubica su $\mathbb {R}$:
$y=x^{3}-9x$

Rappresentazione visiva del grafico di:
$f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})$

In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Definizione

Data una funzione $f\colon X\to Y$, si definisce grafico di $f$ il sottoinsieme del prodotto cartesiano $X\times Y$ (cioè una relazione tra gli insiemi $X$ e $Y$) dato da:

$G(f):={\big \{}(x,y)\,:\,x\in X,\,y=f(x){\big \}}.$

Per una funzione reale di variabile reale $f\colon E\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, il grafico $G(f)$ è il sottinsieme di $\mathbb {R} ^{2}$ dato da $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=f(x)\}$. Per funzioni continue su un intervallo il grafico può essere visto come una curva in $\mathbb {R} ^{2}$; la curva è inoltre «liscia» sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).

Nel caso di una funzione reale di due variabili reali $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ definita su un sottinsieme del piano x-y, il grafico è dato da:

$G:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:z=f(x,y)\}$

La sua rappresentazione è tridimensionale per cui ad ogni punto del piano corrisponde un'ordinata $z=f(x,y)$ nello spazio. In alternativa si può usare il metodo delle curve di livello. In tal caso le curve di livello della funzione $z=f(x,y)$ sono date dall'insieme:

$C:=\{f(x,y):f(x,y)=k\}$

dove $k$ è una costante in generale intera. La sua rappresentazione è quindi una famiglia di curve in cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica le curve sono le curve di intersezione del grafico $z=f(x,y)$ con i vari piani $z=k$.

Il teorema del grafico chiuso

Si supponga che $X$ e $Y$ siano spazi di Banach, e che $T:X\to Y$ sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che $T$ è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio $X\times Y$ dotato della topologia prodotto.

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Fngraph (programma freeware per lo studio di funzioni)
• Gnuplot (programma freeware per tracciare i grafici di funzioni)
• Prodotto cartesiano
• Studio di funzione
• Teorema del grafico chiuso

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Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.