Grafico di una funzione

Rappresentazione visiva del grafico di una funzione cubica su $\R$:
$y=x^3-9x$

Rappresentazione visiva del grafico di:
$f(x, y) = \sin(x^2)\cos(y^2)$

In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Definizione

Data una funzione $f \colon X \to Y$, si definisce grafico di $f$ il sottoinsieme del prodotto cartesiano $X \times Y$ dato da:

$G(f):=\big\{(x,y)\,:\,x \in X,\,y=f(x)\big\}.$

Per una funzione reale di variabile reale $f \colon E \subset \R \to \R$, il grafico $G(f)$ è il sottinsieme di $\R^2$ dato da $\{(x,y) \in \R^2 : y = f(x)\}$. Per funzioni continue su un intervallo il grafico può essere visto come una curva in $\R^2$; la curva è inoltre «liscia» sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).

Nel caso di una funzione reale di due variabili reali $f \colon \Omega \subset \R^2 \to \R$ definita su un sottinsieme del piano x-y, il grafico è dato da:

$G := \{ (x,y,z) \in \R^3 : z = f(x,y) \}$

La sua rappresentazione è tridimensionale per cui ad ogni punto del piano corrisponde un'ordinata $z = f(x,y)$ nello spazio. In alternativa si può usare il metodo delle curve di livello. In tal caso le curve di livello della funzione $z=f(x,y)$ sono date dall'insieme:

$C := \{ f(x,y) : f(x,y) = k \}$

dove $k$ è una costante in generale intera. La sua rappresentazione è quindi una famiglia di curve in cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica le curve sono le curve di intersezione del grafico $z = f(x,y)$ con i vari piani $z = k$.

Il teorema del grafico chiuso

Per approfondire, vedi Teorema del grafico chiuso.

Si supponga che $X$ e $Y$ siano spazi di Banach, e che $T:X\to Y$ sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che $T$ è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio $X \times Y$ dotato della topologia prodotto.

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506.

Voci correlate

• Fngraph (programma freeware per lo studio di funzioni)
• Gnuplot (programma freeware per tracciare i grafici di funzioni)
• Prodotto cartesiano
• Studio di funzione
• Teorema del grafico chiuso

Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

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