Condizione di Hölder

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, la condizione di Holder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniformecontinuità; con 0 < α ≤1.

La condizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione di variabile reale soddisfa la condizione di Hölder di ordine , con , se esiste una costante tale che:[1] per ogni

Il numero si dice esponente di Hölder, mentre si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando . Se , tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se ogni funzione hölderiana con esponente e definita su un sottoinsieme limitato di è anche hölderiana con esponente . Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono -hölderiane.

Spazio delle funzioni holderiane[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio di Hölder delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto dello spazio euclideo , che insieme con le loro derivate fino all'ordine n-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente , è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

se e:

se , dove varia tra i multiindici.

Compattezza in spazi di Hölder[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

vale per tutte le . Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma sono relativamente compatti nella norma . Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia una successione in . Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che uniformemente e anche che . Allora:

e poiché:

si ha:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • La funzione definita in è hölderiana per ogni .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p. 198

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica