Disuguaglianza di Minkowski

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, la disuguaglianza di Minkowski è una disuguaglianza che porta il nome di Hermann Minkowski. Segue dalla disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza[modifica | modifica wikitesto]

Sia \Omega uno spazio di misura con misura \mu, e sia p \geq 1. Allora, se f e g sono funzioni misurabili in L^p (\Omega) si ha:[1]

 \left( \int_\Omega (f + g)^p d\mu \right)^{1 \over p} \le \left( \int_\Omega f^p d\mu \right)^{1 \over p} + \left( \int_\Omega g^p d\mu \right)^{1 \over p}

In modo equivalente:

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

Attraverso quest'ultima formulazione, la disuguaglianza di Minkowski si generalizza al caso p = \infty . Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che L^p (\Omega) è uno spazio normato, in quanto vale la disuguaglianza triangolare. In particolare, L^p (\Omega) è uno spazio di Banach per ogni 1 \leq p \leq \infty . Nel caso in cui lo spazio di misura sia l'insieme dei naturali \mathbb N con la misura del conteggio \mu(A) = \# A, allora per ogni coppia di successioni (a_i)_{i \geq 1} e (b_i)_{i \geq 1} in l^p(\mathbb N) la disuguaglianza di Minkowski si scrive:

\left(\sum_{i=1}^{\infty}|a_i+b_i|^p\right)^{1/p}\le\left(\sum_{i=1}^{\infty}|a_i|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^{\infty}|b_i|^p\right)^{1/p}

Minkowski per gli integrali[modifica | modifica wikitesto]

Siano (X,\mathcal M , \mu) e (Y, \mathcal N, \nu) due spazi di misura \sigma-finiti, e sia  f una funzione  (\mathcal M \otimes \mathcal N)-misurabile. Se f \geq 0, allora per ogni 1 \leq p < \infty

 \left( \int \left( \int f(x,y) d\nu(y) \right)^{p} d\mu(x) \right)^{1 \over p} \leq  \int \left( \int f(x,y)^p d\nu(y) \right)^{1 \over p} d\mu(x)

In particolare, da ciò ne consegue che se  f(\cdot,y) \in L^p(\mu) per quasi ogni  y \in Y, con 1 \leq p \leq \infty , e se la funzione  y \mapsto \Vert f(\cdot,y) \Vert_p sta in  L^1(\nu), allora

\left \Vert { \int f(\cdot,y)d\nu(y) } \right \Vert_p \leq \int \Vert f(\cdot,y) \Vert_p \, d\nu(y)

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood; G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Mathematical Library, 1952, ISBN 0-521-35880-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica