Disuguaglianza di Minkowski

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, la disuguaglianza di Minkowski è una disuguaglianza che porta il nome di Hermann Minkowski e riguarda vettori n-dimensionali. Segue dalla disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza[modifica | modifica sorgente]

Sia p\ge1 un numero reale, e siano (a_1,\ldots,a_n) e (b_1,\ldots,b_n) due n-ple di numeri reali. Allora:

\left(\sum_{i=1}^n|a_i+b_i|^p\right)^{1/p}\le\left(\sum_{i=1}^n|a_i|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n|b_i|^p\right)^{1/p}

Inoltre vale il segno di uguale se e solo se i vettori (a_1,\ldots,a_n) e (b_1,\ldots,b_n) sono uno multiplo dell'altro, e quindi:

a_i=\lambda b_i \qquad i=1,\ldots,n

Più in generale, sia \Omega uno spazio di misura con misura \mu e p \geq 1. Allora, se f e g appartengono a L^p (\Omega) e sono funzioni misurabili a valori positivi si ha:[1]

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

In modo equivalente:

 \left[ \int_\Omega (f + g)^p d\mu \right]^{1 \over p} \le \left[ \int_\Omega f^p d\mu \right]^{1 \over p} + \left[ \int_\Omega g^p d\mu \right]^{1 \over p}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341.
  • (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood; G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Mathematical Library, 1952. ISBN 0-521-35880-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica