Limite di una funzione

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Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.

Con questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale.

Il limite di una funzione  f in un punto  x_0 indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini a  x_0 . Viene indicato con il simbolo

\lim_{x \to x_0}f(x).

Un concetto analogo, ma differente, è quello di limite di una successione. In entrambi i casi si analizza il comportamento di un oggetto matematico che "si avvicina" a un dato valore: mentre in una successione l'oggetto matematico è un insieme discreto di punti, in una funzione questo è un insieme continuo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Limite di una funzione reale di variabile reale[modifica | modifica sorgente]

Sia data una funzione

f: X \rightarrow \R

definita su un sottoinsieme X della retta reale \R e un punto di accumulazione x_0 di X.

Un numero reale  l è il limite di  f(x) per  x tendente a  x_0 se, fissato arbitrariamente un valore ε della distanza fra  f(x) e  l , si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore δ della distanza tra x ed  x_0 per il quale tutti gli x , escluso  x_0 , che distano da  x_0 meno di δ, si ha che  f(x) disti da  l meno di ε.

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi |x-x_0| è la distanza fra  x e  x_0 e |f(x)-l | è la distanza fra  f(x) e  l . I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente,  l è limite se

per ogni numero reale  \varepsilon > 0 esiste un altro numero reale positivo \delta tale che

 |f(x)-l|<\varepsilon per ogni  x in  X con 0<|x-x_0|<\delta .

In questo caso si scrive

\lim_{x \to x_0}f(x) = l.

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente:  l è limite se

per ogni intorno  U di l in  \R esiste un intorno  V di  x_0 in  \R tale che

 f(x) appartiene a  U per ogni  x \neq x_0 in V \cap X.

Il valore x_0 non è necessariamente contenuto nel dominio di  f . Il valore è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di  f in punti arbitrariamente vicini a x_0 ma non dal valore che  f assume in x_0: per questo motivo si chiede che |x-x_0| sia maggiore di zero.

Estensione al caso infinito[modifica | modifica sorgente]

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui  x_0 e/o  l sono infiniti.

La funzione  f ha limite infinito  l =+\infty in un punto finito  x_0 se

per ogni numero reale  N > 0 esiste un altro numero reale \delta >0 tale che

 f(x)>N per ogni  x in  X con 0<|x-x_0|<\delta .

In questo caso si scrive

\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty.

Analogamente si definisce il limite  -\infty sostituendo  f(x) > N con  f(x) < -N .

Il limite per  x\to +\infty è  L .

Per definire il limite per  x_0 = +\infty , è ancora necessario che  x_0=+\infty sia "punto di accumulazione" per il dominio  X : questo si traduce nella richiesta che  X contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:

\sup X = +\infty.

In questo caso, un numero finito  l è limite di  f per  x\to +\infty se:

Per ogni numero reale  \varepsilon > 0 esiste un altro numero reale S >0 tale che

 |f(x)-l|<\varepsilon per ogni  x in  X con x>S .

In questo caso si scrive

\lim_{x\to+\infty}f(x) = l.

Analogamente si definisce il limite per  x \to -\infty , sostituendo  x >S con  x <-S .

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi  x_0 e  l sono infiniti. La funzione  f ha limite  + \infty per x\to+\infty se

Per ogni numero reale  N > 0 esiste un altro numero reale S >0 tale che

 f(x)>N per ogni  x in  X con x>S .

In questo caso si scrive

\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

Si definiscono analogamente i casi in cui  x_0=-\infty e/o  l=-\infty .

Retta estesa e definizione generale[modifica | modifica sorgente]

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale  \R alla retta reale estesa

\reals^* = \reals \cup \lbrace -\infty, +\infty \rbrace

ottenuta aggiungendo due punti -\infty e +\infty . La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di  +\infty sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta  (a,+\infty ) , per qualche  a .

In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo  \R con  \R^* nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi

f: X \to \R^*

una funzione definita su un insieme  X di  \R^* , e sia  x_0 un punto di accumulazione per  X . Un valore  l in  \R^* è limite di  f in  x_0 se

Per ogni intorno  U di l in  \R^* esiste un intorno  V di  x_0 in  \R^* tale che

 f(x) appartiene a  U per ogni  x \neq x_0 in V \cap X.

Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in  x_0 oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

Terminologia[modifica | modifica sorgente]

Se una funzione ha limite zero in  x_0, questa si dice infinitesima o convergente in  x_0 . D'altro canto, se ha limite \pm\infty è detta divergente. Se  x_0 è contenuto nel dominio  X di  f , e se vale

 \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

allora la funzione è continua in  x_0 . La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in  x_0 ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, ma può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio. Altrimenti, la funzione ha in  x_0 un punto di discontinuità.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sono qui elencati alcuni esempi.

  • La funzione  f(x) = x^2 è continua in  x_0 = 3 , perché il suo valore  f(3) = 3^2 = 9 coincide con il valore ottenuto come limite:
    \lim_{x \to 3}x^2=9.
  • Quanto  x diventa molto grande, il valore 1/x diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:
    \lim_{x\to\infty}\frac 1x = 0.
  • Quando  x diventa molto grande, il valore  x^3 diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a  +\infty :
    \lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty.
  • La funzione seno oscilla indefinitivamente fra -1 e  +1 , e quindi non tende a nessun limite preciso per x\to\infty . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori {\pi \over 2} + 2k\pi è costantemente 1 e la restrizione a -{\pi \over 2} + 2k\pi è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:
     \lim_{x\to+\infty} \sin x = {\rm indefinito},
    o più rigorosamente:
    \nexists \lim_{x\to+\infty} \sin x.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto[modifica | modifica sorgente]

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto  x_0 della retta estesa \R^* è un intervallo del tipo [x_0, x_0+r[ con r>0 . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo ]x_0-r, x_0] . In particolare, gli intorni di -\infty sono tutti destri e quelli di +\infty sono sinistri.

A questo punto, sia

 f:X\to\R

con  x_0 punto di accumulazione per  X . Un valore  l della retta estesa è limite destro per  f in  x_0 se

Per ogni intorno U di l esiste un intorno destro V^+ di x_0 tale che

f(x) appartiene a  U per ogni x in  V^+ \cap X .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come

\lim_{x \to x_0^-} f(x), \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x).

Vale il risultato seguente:

Una funzione ha limite in  x_0 se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.

La funzione gradino di Heaviside ha un salto in  x_0 = 0 , poiché i limiti sinistro e destro non coincidono.

Ad esempio, la funzione gradino  f mostrata in figura ha limite sinistro e destro in  x_0 = 0 , ma questi non coincidono: quindi non ha limite in  x_0 = 0 :

 \lim_{x\to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1.

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno  U di  l con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

l^+ = \lim_{x \to x_0} f(x), \quad l^- = \lim_{x \to x_0} f(x) .

Proprietà di base[modifica | modifica sorgente]

Limitatezza locale[modifica | modifica sorgente]

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in  x_0 è limitata in un intorno di  x_0 , ovvero esistono un numero  K>0 e un intorno  V di  x_0 tale che |f(x)| < K per ogni  x del dominio contenuto in  V .

D'altra parte, una successione limitata in un intorno di  x_0 non ha necessariamente limite in  x_0 : ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

Permanenza del segno[modifica | modifica sorgente]

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite  l > 0 strettamente positivo in  x_0 , allora assume valori strettamente positivi per ogni  x sufficientemente vicino a  x_0 . In altre parole, esiste un intorno  V di  x_0 tale che  f(x) >0 per ogni  x del dominio in  V diversa da  x_0 .

Analogamente, una funzione che ha limite  l <0 strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli  x sufficientemente vicini a  x_0 . Una funzione che ha limite  l= 0 può assumere vicino a  x_0 valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione  f(x) = x con  x_0=0 ).

Confronto fra funzioni[modifica | modifica sorgente]

Confronto fra due funzioni[modifica | modifica sorgente]

Siano  f e  g due funzioni definite su un dominio  X , con  x_0 punto di accumulazione per  X . Se  f(x) \geq g(x) per ogni x del dominio in un intorno  V di  x_0 , e se entrambe le funzioni hanno limite in  x_0 , allora vale

\lim_{x\to x_0} f(x)\geq \lim_{x\to x_0} g(x).

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza  f-g .

Teorema del confronto (o dei carabinieri)[modifica | modifica sorgente]

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se  f, g e  h sono tre funzioni definite su un dominio  X con punto di accumulazione  x_0 , tali che

f(x)\leqslant g(x) \leqslant h(x)

per ogni x\neq x_0 del dominio in un intorno di  x_0 , e tali che

 \lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = l

allora anche

 \lim_{x\to x_0} g(x) = l.

Viene detto "dei carabinieri" perché f(x) e h(x) vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella g(x) cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.

Operazioni con i limiti[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operazioni con i limiti.

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano f e g due funzioni con lo stesso dominio  X , e  x_0 un punto di accumulazione per  X . Se esistono i limiti

\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1, \quad \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2

allora

  1. \lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad \forall c \in \R
  2. \lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2
  3. \lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2
  4. \lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0
  5. \lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui  l_1 e/o  l_2 sia infinito.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Spazi generici[modifica | modifica sorgente]

Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione

 f:X\to Y \,\!

fra spazi metrici  X e  Y nel modo seguente. Se  x_0 è un punto di  X , un valore  y_0 di  Y è limite di  f(x) per  x\to x_0 se  f(x) si avvicina arbitrariamente a  y_0 quando  x si avvicina a  x_0 . Formalmente, se

Per ogni  \varepsilon >0 esiste \delta>0 tale che

 d(f(x),y_0)<\varepsilon per ogni  x con 0<d(x,x_0)<\delta

In questo caso si scrive

\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0.

Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.

Spazi topologici[modifica | modifica sorgente]

La definizione si estende anche a una funzione

 f:X\to Y

fra spazi topologici  X e  Y . Se  x_0 è un punto di  X , un valore  y_0 di  Y è limite di  f(x) per  x\to x_0 se

Per ogni aperto  U contenente  y_0 esiste un aperto  V contenente  x_0 tale che

 f(x) appartiene a  U per ogni  x \neq x_0 in  V .

L'unicità del limite qui può cadere se il codominio non è uno spazio di Hausdorff.

Funzioni reali a più variabili[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Limite di funzioni a più variabili.

Lo spazio euclideo  \R^n è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione

 f:X\to\R^m

dove  X è un qualsiasi sottoinsieme di  \R^n .

Funzioni complesse[modifica | modifica sorgente]

Una funzione complessa

f:\Complex  \rightarrow \Complex

può essere interpretata come funzione

f:\reals^2 \rightarrow \reals^2.

In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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