Limite di una funzione

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In matematica, il limite di una funzione in un punto di accumulazione[1] per il suo dominio è un modo per esprimere la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a . Indicando con la funzione, il limite viene indicato con la notazione:

In altri termini, significa che quando il valore di si avvicina a , esprimibile con , il valore assunto dalla funzione si avvicina a , cioè . Il valore può essere finito (), infinito () o non esistere affatto. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore.

Il concetto di limite di una funzione viene generalizzato da quello di limite di un filtro, mentre un caso particolare è quello di limite di una successione di punti in uno spazio topologico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una funzione definita su un sottoinsieme della retta reale e un punto di accumulazione di . Un numero reale è il limite di per tendente a se, fissato arbitrariamente un valore della distanza fra e , si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore della distanza tra ed per il quale tutti gli , escluso , che distano da meno di , si ha che disti da meno di .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi è la distanza fra e e è la distanza fra e . I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, è il limite di per che tende a se per ogni numero reale esiste un altro numero reale positivo tale che se allora , o con formalismo puramente matematico

che è riassunto dalla scrittura:

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente: è limite se per ogni intorno di in esiste un intorno di in tale che appartiene a per ogni in . Il punto non è necessariamente contenuto nel dominio di . Il punto è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di in punti arbitrariamente vicini a ma non dal valore che assume in : per questo motivo si chiede che sia maggiore di zero.

La definizione di cui sopra è quella maggiormente utilizzata al giorno d'oggi. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo una revisione dei concetti basilari di topologia ha indotto alcuni illustri studiosi a proporre una definizione modificata di limite.[2][3] Se infatti è più in generale punto di aderenza per l'insieme , allora si dice che è limite se per ogni numero reale esiste tale che ogni volta che . La condizione viene quindi a mancare. La definizione riformata non modifica i limiti tradizionali come ad esempio la definizione di derivata, ma tratta in modo diverso alcuni casi "patologici". Si osservi che la condizione di aderenza di a è condizione necessaria e sufficiente affinché il limite, inteso con la definizione riformata, sia unico. Inoltre, utilizzando questa definizione la continuità diventa un caso particolare di limite a tutti gli effetti: infatti si vede facilmente che continua in , punto del suo dominio, equivale a dire che ammette limite in . Vari altri classici risultati assumono una forma più semplificata assumendo la definizione riformata di limite: ad esempio il teorema del passaggio al limite in una funzione composta vale sotto le ipotesi più naturali possibili.

Estensione al caso infinito[modifica | modifica wikitesto]

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui e/o sono infiniti.

La funzione ha limite in un punto finito se per ogni numero reale esiste un altro numero reale tale che per ogni in con , ovvero

che in maniera più sintetica si scrive:

Analogamente si definisce il limite sostituendo con .

Il limite per è .

Per definire il limite per , è ancora necessario che sia un "punto di accumulazione" per il dominio : questo si traduce nella richiesta che contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:

In questo caso, un numero finito è limite di per se per ogni numero reale esiste un altro numero reale tale che per ogni in con , ovvero

che in maniera più sintetica si scrive:

Analogamente si definisce il limite per , sostituendo con .

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi e sono infiniti. La funzione ha limite per se per ogni numero reale esiste un altro numero reale tale che per ogni in con , ovvero

che in maniera più sintetica si scrive:

In maniera analoga si definiscono i casi in cui e/o .

Retta estesa e definizione generale[modifica | modifica wikitesto]

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale alla retta reale estesa:

ottenuta aggiungendo due punti e . La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta , per qualche .

In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo con nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi una funzione definita su un insieme di , e sia un punto di accumulazione per . Un valore in è limite di in se per ogni intorno di in esiste un intorno di in tale che appartiene a per ogni in .

Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

Terminologia[modifica | modifica wikitesto]

Se il limite per di è 0, si dice infinitesima o convergente in . D'altro canto, se tende a è detta divergente. Se è contenuto nel dominio di , e se vale:

allora la funzione è continua in . La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, quindi può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio: in ogni punto del suo dominio, la assume in il valore del suo limite per . Altrimenti, la funzione ha in un punto di discontinuità.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sono qui elencati alcuni esempi.

  • La funzione è continua in , perché il suo valore coincide con il valore ottenuto come limite:
  • Quanto diventa molto grande, il valore diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:
  • Quando diventa molto grande, il valore diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a :
  • La funzione seno oscilla indefinitivamente fra e , e quindi non tende a nessun limite preciso per . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori è costantemente 1 e la restrizione a è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:
o più rigorosamente:

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto[modifica | modifica wikitesto]

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto della retta estesa è un intervallo del tipo con . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo . In particolare, gli intorni di sono tutti destri e quelli di sono sinistri.

A questo punto, sia con punto di accumulazione per . Un valore della retta estesa è limite destro per in se per ogni intorno di esiste un intorno destro di tale che appartiene a per ogni in .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:

Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.

La funzione gradino di Heaviside ha un salto in , poiché i limiti sinistro e destro non coincidono.

Ad esempio, la funzione gradino mostrata in figura ha limite sinistro e destro in , ma questi non coincidono: quindi non ha limite in :

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno di con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

Proprietà di base[modifica | modifica wikitesto]

Limitatezza locale[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in è limitata in un intorno di , ovvero esistono un numero e un intorno di tale che per ogni del dominio contenuto in .

D'altra parte, una successione limitata in un intorno di non ha necessariamente limite in : ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

Permanenza del segno[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite strettamente positivo in , allora assume valori strettamente positivi per ogni sufficientemente vicino a . In altre parole, esiste un intorno di tale che per ogni del dominio in diversa da .

Analogamente, una funzione che ha limite strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli sufficientemente vicini a . Una funzione che ha limite può assumere vicino a valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione con ).

Confronto fra funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni definite su un dominio , con punto di accumulazione per . Se per ogni del dominio in un intorno di , e se entrambe le funzioni hanno limite in , allora vale:

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza .

Teorema del confronto (o dei carabinieri)[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se e sono tre funzioni definite su un dominio con punto di accumulazione , tali che:

per ogni del dominio in un intorno di , e tali che:

allora anche:

Viene detto "dei carabinieri" perché e vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.

Operazioni con i limiti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Operazioni con i limiti.

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano e due funzioni con lo stesso dominio , e un punto di accumulazione per . Se esistono i limiti:

allora:

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui e/o sia infinito.

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione fra spazi metrici e nel modo seguente. Se è un punto di , un valore di è limite di per se si avvicina arbitrariamente a quando si avvicina a . Formalmente, se per ogni esiste tale che per ogni con . In questo caso si scrive:

Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

La definizione si estende anche a una funzione fra spazi topologici e . Se è un punto di , un valore di è limite di per se per ogni aperto contenente esiste un aperto contenente tale che appartiene a per ogni in .

L'unicità del limite qui può cadere se il codominio non è uno spazio di Hausdorff.

Funzioni reali a più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di funzioni a più variabili.

Lo spazio euclideo è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione:

dove è un qualsiasi sottoinsieme di .

Funzioni complesse[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione complessa può essere interpretata come funzione:

In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Spesso in topologia può essere richiesto che il punto sia solo di aderenza per il dominio della funzione. Questo non cambia nulla per i limiti di funzione rispetto ai punti di accumulazione perché sono un sottoinsieme dei punti di aderenza, né va a influenzare i teoremi sulle proprietà generali dei limiti.
  2. ^ Ennio De Giorgi, Lezioni di Istituzioni di Matematica 1, Ferrara, De Salvia, 1972.
  3. ^ Laurent Schwartz, Analyse. Deuxième partie: Topologie générale et analyse fonctionnelle, Paris, Hermann, 1970.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
  • (EN) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948) (Translated from German)
  • (EN) K.R. Stromberg, Introduction to classical real analysis , Wadsworth (1981)
  • (EN) J.L. Kelley, General topology , v. Nostrand (1955) pp. 125; 127
  • (EN) B. Mitchell, Theory of categories , Acad. Press (1965) pp. 7
  • (EN) J. Adámek, Theory of mathematical structures , Reidel (1983)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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