Funzione differenziabile

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In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile volte, e si parla in questo caso di funzione di classe . Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione da in è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo è detta differenziabile in un punto del dominio se esiste una applicazione lineare:

tale che valga l'approssimazione:[1]

dove si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

Se la funzione è differenziabile in , l'applicazione è rappresentata dalla matrice jacobiana .

Il vettore:

si chiama differenziale (esatto) di in ed viene detto derivata o anche derivata totale della funzione .

La funzione è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.[2] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa a è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.[3]

Nel caso di una funzione di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in se esiste un'applicazione lineare tale che:[4]

ed in tal caso si ha:

Matrice Jacobiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice Jacobiana.

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe .

Dette:

le basi canoniche di e rispettivamente, si ha:

L'applicazione lineare è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice , detta matrice jacobiana di in .

Il -esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:[5]

A seconda delle dimensioni e , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

  • Se , la matrice jacobiana si riduce ad un vettore -dimensionale, chiamato gradiente di in . In tal caso si ha:
Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
  • Se , la funzione parametrizza una curva in , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
  • Se , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione olomorfa.

Sia un sottoinsieme aperto del piano complesso . Una funzione è differenziabile in senso complesso (-differenziabile) in un punto di se esiste il limite:

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con . Se è differenziabile in senso complesso in ogni punto di , essa è una funzione olomorfa su . Si dice inoltre che è olomorfa nel punto se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che è olomorfa in un insieme non aperto se è olomorfa in un aperto contenente .

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa è olomorfa allora e possiedono derivata parziale prima rispetto a e e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger di rispetto al complesso coniugato di è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabili[modifica | modifica wikitesto]

  • Una funzione differenziabile in un punto è continua in . Infatti:
per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.
  • Se è una funzione differenziabile in , allora essa ammette tutte le derivate parziali in . Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:
ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in .
Tuttavia, se è di classe in un intorno di , cioè se esistono tutte le derivate parziali di e queste sono funzioni continue, allora è differenziabile in . Vale quindi, se è aperto, che implica la differenziabilità in che implica a sua volta che .

Approssimazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Serie di Taylor.

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima in un intorno di è la funzione:

.

Per verificarlo, si consideri un intorno di di raggio .

Se si effettua uno zoom sul grafico di in modo che l'intorno ci appaia di raggio , la distanza che si vede tra la funzione e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto è pari a:

dove la divisione per corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

,

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di si deduce che:

,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di e della sua approssimazione affine intorno a è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 213
  2. ^ W. Rudin, Pag. 214
  3. ^ W. Rudin, Pag. 220
  4. ^ W. Rudin, Pag. 212
  5. ^ W. Rudin, Pag. 217

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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