Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

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In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovskii, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.

Negli spazi Lp la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

con l'uguaglianza che sussiste solo se e sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

In forma integrale:

con e funzioni quadrato sommabile, che formano lo spazio di Hilbert L2. Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

Nello spazio euclideo si ha:

In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

dove l'operazione binaria indica il prodotto vettoriale

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo n-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:

dove è l'angolo fra i due vettori e . Si estende quindi questa relazione ad un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori e come il che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:

Dimostrazione 1[modifica | modifica wikitesto]

Siano , vettori arbitrari in uno spazio vettoriale V su un campo F con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia F il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza

e l'identità vale se e solo se e sono multipli fra di loro.

Se è banalmente provata l'uguaglianza, ed è anche questo il caso in cui e sono linearmente dipendenti a prescindere da . Possiamo quindi assumere non nullo. Assumiamo anche , altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né possono essere negativi.

Sia posto allora

Poi, per la linearità del prodotto scalare rispetto al primo operando, si ha

per cui è per definizione ortogonale sia a che al suo multiplo per la linearità del prodotto scalare. Possiamo allora applicare il Teorema di Pitagora a

ottenendo così

da cui, moltiplicando entrambi i membri per ,

e poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene

QED.

Dimostrazione 2[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza risulta banalmente vera per , quindi si assume diverso da zero. Sia un numero complesso. Si ha:

Scegliendo:

, e ricordando che

si ottiene:

che vale se e solo se:

o equivalentemente:

Dimostrazione algebrica[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un polinomio di secondo grado in del tipo:

che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli e i sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia sussiste un legame di propozionalità (con stessa costante moltiplicativa) con le coppie . In tal caso:

Svolgendo le parentesi si ottiene:

Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:

da cui si ricava:

che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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